“平行四边形”常见错误的解决策略

　由于平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定都比较多，同学们在学习时往往容易遗漏判定的条件、混淆图形的性质，造成这样那样的错误. 现在列举一些中心对称图形（平行四边形）中常见的错误并加以剖析，希望对同学们学习中心对称图形（平行四边形）这一章有所帮助. 
　　一、 图形性质方面的错误 
　　例1 如图1，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，连接OB、OD，则BO=OD吗？为什么？ 
　　【常见错解】∵四边形ABCD是平行四边形， 
　　∴OB=OD（平行四边形对角线互相平分）. 
　　【错解分析】对“平行四边形对角线互相平分”这一性质理解不深. 题中没有说明OB、OD在一直线上，即没有“对角线BD”这个条件，所以不能直接用这一性质. 
　　【错解改正】∵四边形ABCD是平行四边形， 
　　∴AB=CD且AB∥CD（平行四边形对边平行且相等），∴∠1=∠2. 
　　∵O是AC的中点， 
　　∴AO=CO. 
　　在△AOB和△COD中， 
　　AO=CO， 
　　∠1=∠2， 
　　AB=CD， 
　　∴△AOB≌△COD，∴BO=OD. 
　　例2 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）. 
　　A. 对角线互相垂直 
　　B. 对角线互相平分 
　　C. 对角线相等 
　　D. 对角线平分一组对角 
　　【常见错解】A、B、D. 
　　【错解分析】对矩形、菱形、正方形的性质不熟悉. 在学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，应当熟记它们的边、角、对角线的性质，同时头脑中要有图形，要勤画图，这样对性质的理解会更加深刻. 
　　【错解改正】C. 
　　二、 图形判定方面的错误 
　　例3 有两条边相等，另两条边也相等的四边形是平行四边形吗？ 
　　【常见错解】是. 
　　【错解分析】没有严格对照平行四边形的定义和判定定理来判断. 两组边相等必须是两组对边相等. 当两条相邻的边相等时就不一定是平行四边形了. 
　　【错解改正】不是. 
　　例4 如图2，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，BE平分∠ABC交AD于E，AF与BE相交于G. 
　　求证：四边形ABFE是菱形. 
　　【常见错解】∵四边形ABCD是平行四边形， 
　　∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°. 
　　∵AF平分∠BAD，BE平分∠ABC， 
　　∴∠1=∠BAD，∠2=∠ABC. 
　　∠1+∠2=（∠BAD+∠ABC）=×180°=90°， 
　　∴∠AGB=90°，∴AF⊥BE. 
　　∴四边形ABFE是菱形. 
　　【错解分析】本题常见错误是在证四边形ABFE是菱形时仅仅证明了对角线互相垂直，就说明是菱形，而忽略了四边形ABFE是平行四边形这个要求. 
　　【错解改正】∵四边形ABCD是平行四边形， 
　　∴AD∥BC.∴∠EAF=∠AFB. 
　　∵AF平分∠BAD，∴∠EAF=∠1. 
　　∴∠1=∠AFB，∴AB=BF. 
　　同理AB=AE，∴AE=BF. 
　　又∵AD∥BC， 
　　∴四边形ABFE是平行四边形. 
　　又∵AB=BF（证AF⊥BE亦可）， 
　　∴四边形ABFE是菱形. 
　　例5 顺次连接四边形四边中点所组成的四边形是菱形，则原四边形为（）. 
　　A. 平行四边形 
　　B. 菱形 
　　C. 对角线相等的四边形 
　　D. 对角线互相垂直的四边形 
　　【常见错解】B、D. 
　　【错解分析】想当然地认为中点四边形（顺次连接四边形四边中点所组成的四边形叫做原四边形的中点四边形）和原四边形的边（对角线）是同样的性质. 实际上，中点四边形的边平行且等于原四边形的对角线的一半. 画出图形能更直观地发现其中的对应关系. 
　　【错解改正】C. 
　　总之，同学们在学习这一部分内容时，首先必须熟记图形的性质和判定，然后必须认识到，学习几何没有图形是不可想象的，一个清楚标准的图是解决问题的关键. 图形的性质和判定就像游戏中的规则，图形就像游戏中的地图，只要两样都烂熟于心，你就一定能做得非常棒！ 
　　（作者单位：江苏省常熟市实验中学） 

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