初等列变换的应用

摘　要：本文介绍了两种初等列变换的用法：一种是用初等列变换求简单矩阵方程型，另一种是用初等变换化二次型为标准型。

关键词：初等列变换，简单矩阵方程，二次型，标准型，初等变换

在线性代数的学习中，初等行变换是解题中最重要的方法。我们知道可以用初等行变换求矩阵的秩；求解线性方程组；求方阵的逆阵；求解简单矩阵方程AX=B型等等。但对初等列变换比较陌生，本文总结了两种初等列变换的用法以加深对列变换的认识。
一、 利用初等列变换来解简单矩阵方程XA=B型
例1、 解下面矩阵方程XA=B，其中

解：（一）可以用到初等列变换的三种变换，即。
   （二）具体方法为

二、 利用初等变换化二次型为标准型，并可求出可逆线性变换。
例2、 将二次型，求可逆阵P，将其化成标准型。
解：（一）只用到初等列变换的一种变换，即同时还用到初等行变换。

（二）具体方法：为了求可逆阵P,我们把n阶单位阵写在A的下面，于是对A进行初等列变换时，下面的矩阵E进行同样的列变换，而对A进行初等行变换时，下面矩阵不动，这样，当A施行一系列上述的“一对初等列与行变换”化为时，下面的单位阵E经过一系列相应列变换化为P，即

     我们用初等变换解这道比较熟悉的习题，相比较于正交变换的方法来看过程更简单一些。
     当然我们还可以用初等列变换求矩阵的逆阵；判断向量组的线性相关性；判断矩阵的合同以及求标准型中的正、负惯性指数等等。
     初等变换是贯穿线性代数教学活动始末的重要方法，所以我们既要熟悉初等行变换，也要了解初等列变换。
    
   参考文献：
　[1]同济大学数学系.工程数学线性代数[M].高等教育出版社
　[2]甘志雄等.线性代数典型例题与解法[M].国防科技大学出版社2003:154.

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