MATLAB在高等数学教学中的价值分析

摘要：MATLAB是国际上最流行的科学与工程计算软件，高等数学课程是大学教育的一门重要的基础课。本文根据笔者的教学经验，就MATLAB在高等数学教学中的应用作了详细的阐述。结果表明，将MATLAB引入高等数学教学中可以大大地提高教学效率，激发学生的学习兴趣。
　　关键词：MATLAB；高等数学；教学
　　中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）29-0076-02
　　高等数学作为大学教育的一门重要基础课，是学生入校后最早学习的课程之一，关系到学生后继专业课程的学习，其重要性不言而喻。在计算机迅猛发展的今天，将计算机软件与高等数学教学相结合，已成为教学改革的热点。而计算机软件的不断升级换代，为大学数学的教学提供了优越的条件。MATLAB语言作为众多软件的佼佼者，目前已经成为国际科学界最具影响力、最有活力的科学计算软件。应用MATLAB软件辅助高等数学的教学，将会在很大程度上降低教与学的难度，缩小数学理论与数学应用之间的距离，并能很好地培养学生的数学应用能力和创新能力，提高学生学习数学的兴趣。[1]本文就MATLAB在高等数学教学中的应用进行了探讨。
　　一、利用MATLAB求极限运算[2]
　　《高等数学》的第一章是“函数与极限”，[3]极限是非常重要的一个概念，也是导数、积分等概念的基础。求极限的方法有很多种，教师除了要求学生能够掌握求极限的常用方法以外，还可以向学生展示利用MATLAB 软件求极限的便利性，使学生在具体的计算过程中如果碰到较复杂的求极限计算，可以借助软件来解决，从而克服数学上的难题。
　　利用MATLAB求极限的格式为：limit（f，x，a，’right’）。表示求当x趋向于点a时函数f的极限，如果是趋向于无穷大，则将a改为inf，right表示点a的右极限，而如果是左极限，则为’left’。如果不是左右极限，则无需加’right’或’left’。如求极限 ，可以在MATLAB窗口中直接输入：
　　>>syms t x
　　>>f=（1+t/x）^x；
　　>>s1=limit（f，x，inf）
　　s1=exp（t）
　　可得到结果为s1= 。
　　二、利用MATLAB求导数与积分
　　1. 利用MATLAB求导数
　　MATLAB求导数的格式为：diff（f，v，n）。表示函数f对自变量v求n阶导数。若为一元函数求导，则变量v省略；若为多元函数求导，则需指明自变量v。因此，此命令既可用于一元函数求导，也可用于多元函数求偏导数。例如 ，求 ，可以在MATLAB窗口中输入：
　　>>syms x
　　>>y=cos（x^2）；
　　>>s2=diff（y，2）；
　　s2=-4*cos（x^2）*x^2-2*sin（x^2）；
　　得到结果为 。
　　又例如 ，求 ，可在MATLAB窗口中输入
　　>>syms x y
　　>>f=x^6+y^4+2*x^2*y^2；
　　>>s3=diff（f，x）
　　s3=6*x^5+4*x*y^2
　　得到结果为 。
　　2. 利用MATLAB求积分
　　MATLAB求积分的命令与求导数的命令很相似，格式为：int（f，v，a，b）。表示函数f在区间 上对变量v的积分。若为一元函数求积分，则变量v省略；若为多元函数求积分，则需指明变量为v。若是求不定积分，则上下限a、b省略，若求定积分，则a、b为定积分的上下限，a、b可以是数，亦可以是函数，或者是无穷大，此时为广义积分。例如求积分 ，可在MATLAB窗口中输入
　　>>syms x
　　>>s4=int（x*cos（x^2））
　　s4=1/2*sin（x^2）
　　可得到不定积分的结果为 。
　　又如求二重积分 ，可在MATLAB窗口中输入
　　>>syms x y
　　>>s5=int（int（x*y，x，y^2，y+2），y，-1，2）
　　s5=45/8
　　三、MATLAB画图
　　1. 利用MATLAB画一元函数的图形
　　《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用第六节是“函数图形的描绘”，[3]通过画出函数的图像，可以从图像上观察出函数的单调区间、极值点和拐点，能帮助学生更好地理解单调性、极值点和拐点的定义，更好地理解这一章书的有关概念和知识点，而利用MATLAB软件可以非常简单地画出一元函数的图形。
　　首先将x轴和y轴的数据存储在两个维数相同的向量如x和y中，然后利用plot（x，y）命令即可画出函数
　　的图像。例如画出函数 在区间[-5，5]的图形，可输入命令如下
　　>>x=-5：0.01：5；
　　>>y=x.^3-x.^2-x+1；
　　>>plot（x，y）
　　>>y=x./（1+x.^2）；
　　>>plot（x，y）
　　得到如图1所示的结果。
　　再如描绘函数
　　的图形，输入命令如下
　　>>x=-10：0.01：10；
　　>>y=1/（sqrt（2）*pi）*exp（-x.^2/2）；
　　>>plot（x，y）
　　图形如图2所示。
　　2. 利用MATLAB画二元函数的图形
　　《高等数学》第八章空间解析几何与向量代数中介绍了柱面、旋转曲面、两曲面相交等空间图形，[3]如能在教学中利用MATLAB软件将这些空间曲面或空间曲线图形画出，会更大地提高学生的学习兴趣，使学生感受到数学的内在美。
　　首先利用meshgrid命令生成在x、y平面上的网格数据，再根据函数关系 生成对应x、y平面网格点的z值，最后通过mesh（x，y，z）命令画出曲面图。例如在讲到二元函数极值点时课本上举了一个反例 ，
　　这个图形是一个马鞍面，手工画图较难画出，但利用MATLAB画图就比较简单，可输入命令如下
　　>>[x，y]=meshgrid（-5：0.1：5）；
　　>>z=x.*y；
　　>>mesh（x，y，z）
　　图形如图3所示。
　　又如，给学生布置的书上的一道作业：画出曲线
　　在第一卦限内的图形。从作业情况可以看出大部分学生都不能准确地画出曲线，而且画出的图形不标准。而利用MATLAB画图命令如下
　　>>[t，z]=meshgrid（0：pi/50：pi/2，0：0.1：1）；
　　>>x=cos（t）；y=sin（t）；
　　>>mesh（x，y，z）
　　>>hold on
　　>>[t，y]=meshgrid（0：pi/50：pi/2，0：0.1：1）；
　　>>x=cos（t）；z=sin（t）；
　　>>mesh（x，y，z）
　　从图形中能够很容易地观察出两个圆柱面在第一卦限的交线。
　　四、结语
　　将MATLAB引入到大学数学的教学当中，不仅克服了传统教学中讲解内容抽象、手工绘图不准确、教学内容难以扩展等不足，而且学生在学习的过程中也表现出了极大的热情与创造性。但应该指出的是，大学数学的教学还是应以课本知识为主，MATLAB在其中只是起到一个辅助教学的作用，教师应该合理地把握好这个度。
　　参考文献：
　　[1]平怡.MATLAB在大学数学教学中的应用研究[J].湖北广播电视大学学报，2008，12（11）.
　　[2]蔡旭辉等.MATLAB基础与应用教程[M].北京：人民邮电出版社，2011.
　　[3]同济大学数学系.高等数学第六版上册[M].北京：高等教育出版社，2007.

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