浅析我国古代数学在农业应用情况

　　[提要]数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学,我国古代数学恰恰是在数、形、数形结合这三方面有其特色和自成系统。

　　[关键词]古代数学,农业生产,应用

　　我们的祖国是一个地大物博、人口众多、历史悠久的文明古国。我国古代文学艺术成就巨大,科学技术方面的指南针、造纸、印刷术、火药这四大发明,举世闻名。可是,对我国古代数学的成就,了解的人却不多,甚至还有人误以为我国历来在数学上是落后的。

　　其实,我国古代数学对于世界文化有过伟大的贡献。我国古代数学是讲道理的,有足够多的例证,说明它们立论严谨,走在世界的前列,我国古代数学在一些重要项目中获得了“世界冠军”。而古代数学是来源于实践,尤其是来源于农业生产的。这是由于中国农业有着悠久的历史,农业起源于没有文字记载的远古时代,它发生于原始采集和狩猎的经济母体之中,又由于农业生产受社会经济和自然环境等多种因素的影响,受“地”的影响,古人把“地”看成是“万物之本原,诸生之根菀”。它是农业生产的基本生产资料,有了“地”,就要有测量,就要有计算,当然就有了数学。

　　首先,我国最迟从春秋战国开始就普遍用算筹记数,而且采用了十进位制,有了良好的记数工具,就可以比较轻便地进行自然数运算;除不尽的除法还出现分数记法及其运算,用两种不同颜色的算筹区别正数和负数就可以通行无阻地进行有理数四则运算,能够解决各种比例问题的“今有术”也是在这种算筹制上进行的;从两汉历经隋唐宋元,正确、快捷列出方程、方程组、不定方程和不定方程组也都是在这种算筹制上进行的。

　　另一方面,从汉末三国时代开始的出入相补、损广益陕原理在处理空间形式问题上起到主导作用,平面图形的割补和立体图形的棋验都体现了这一原理。用长方形余形相等出入相补法则来诠释刘微重差九术就来得自然,用此来补证秦九韶三斜求积公式,“秦氏承袭希腊海伦”之说也将不攻自破,著名的刘微割圆术是出入相补的应用,祖用牟合方盖这一专用模型来推导球的体积公式,在方法上、理论上和所得结果至今无可指责,究其原理还是出入相补之理。

　　数形结合、相辅相成。开平方、开立方无疑是刘微“解体用图”的具体应用,犹如层层剥茧、井然有序。沈括、杨辉堆垛求和,又与相应立体体积公式类比,从而导出正确结果。反过来,几何问题又依赖于数量关系。例如赵爽“勾股圆方图注”凭借计算,以证明勾股弦关系,海岛重差借助长方形余形,其理始显。圆,作为内接正多边形倍增边数的极限也是通过计算,得以阐明的。

　　一、勾股定理在农业生产中的应用举例

　　中国古代数学家研究勾股定理的证明和应用,是自成体系的,其证明方法,大都采用青朱出入法,也就是今人说的割补法。通过适当的划分,将勾上的正方形面积与股上的正方形面积,划分成若干个部分,而这些部分的总和又恰好能填满弦上的正方形。所谓青朱出入就是把划分出来的图形,添上青、朱、黄等各种颜色,以次出入(割补时容易识别),方法巧妙简单,令人叹服。

　　据历史资料记载,夏禹(公元前2140年——公元前2095年)治水时就已用到了勾股术(即勾股的计算方法),因此我们可以说,夏禹是世界上有历史记载的第一个与勾股定理有关的人。

　　《周髀算经》是我国最古老的算书,成书太约在公元前100年。在该书中说到“禹之所以治天下者,此数之所由生也”。这说明在大禹时,就能应用特殊情况下的勾股定理和测量了。赵爽在《周髀算经》注中说:“禹治洪水,决统江河,望山川方形,定高下之势,除滔天之灾,释昏垫(老百姓)之厄(危难),使与注于海于无浸逆(溺),乃勾股之所由生也。”这说明当时大禹治洪水之所以成功,是由于使用勾股测量而取得的。

　　《九章算术》也是我国最古老的一部数学名著,是我国数学方面流传至今最早也是最重要的一部经典著作,也是世界数学史上极为珍贵的古典文献,成书大约在公元前后100年。该书总结了秦汉以前我国在数学领域的辉煌成就,开创了独具一格的理论体系,对中国古代数学的发展有着十分深远的影响,有不少来源于农业生产的例子。

　　例1:今有池方一丈,葭生其(池)中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?(选自《九章算术》)

　　今译:有一正方形池塘,它的边长为1丈,一棵芦苇生长在这池塘的正中央,长出水面1尺,如果将芦苇拉向池塘边,茎尖刚巧碰到池岸边,问池塘水深及芦苇长各是多少?

　　这就是一个勾股定理的题目,使用勾股定理经过简单计算,知水深一丈二尺,葭长一丈三尺。

　　二、盈亏问题在农业生产中的应用举例

　　历史上任何重要的数学思想与方法都不可能是“无源之水,无本之术”,而总有其产生的实际背景和理论渊源的。那么盈不足术是在怎样的数学历史背景下产生,又是在何种数学思想与理论的基础上发展起来的?这个问题的探讨对于了解秦汉以前古算中农业生产应用问题解法的演进以及方程术的产生都是很有价值的。

　　众所周知,《九章算术》是我国秦汉以前数学成就的总结,它是一部经历了长期的历史发展而逐步完善起来的数学著作,全书分为九章,第一章“方田”就是讲述远古时代简单的土地测量及分数算法。第七章“盈不足”讲什么呢?随着农业实践的发展和理论研究的深入,数学应用问题所涉及的数量关系已远远超出了比例关系的陕隘范围。形式多样而复杂的线性问题和非线性问题的出现,使原始的比率算法已无能为力了。一方面,应用比率算法解题需要“因物成率,审辩各分,平其偏颇,齐其参差”,这对于复杂的比例问题要求很高的分析能力和技巧性;另一方面,对于“隐杂互见”的各种线性与非线性问题,使用比率算法根本不能解决问题。这便要求数学家创造一种新的有力的一般解题方法,盈不足术就是在这样的数学历史条件下应运而生的。

　　例2:今有共买牛,七家共出一百九十,不足三百三十,九家共出二百七十,盈三十。问家数牛价各几何(选自《九章算术》)

　　今译:有若干户人家共同买牛。如果7家共出钱190则不够330,如果9家共出钱270,则多钱330。问家数及牛价各是多少?

　　将盈不足术翻译成如今方程组求解就是:

　　设x为家数,y为牛价,由题意得:

　　x/9×270-y=30

　　y-x/7×190=330

　　解得家数为126,牛价3750钱。

　　据《唐阙史》记载:公元855年左右,唐代有位大官叫杨损,在选用和提拔行政官吏方面以公正闻名。一次,有两个办事员,需要提升其中一个,麻烦的是这两个人的职位相同,在政府里工作的时间也同样长,甚至他们得到的评语也完全相同。那么,究竟提拔谁好呢?负责这项工作的官吏对这件事感到很伤脑筋,便去请示杨损。杨损仔细考虑了一番,说:“一个办事员的最大优点之一是要算得快,现在就让这两个候补人员都来听我出题,哪一个先得出正确答案,他就该得到提升”。他的题是:“有人在林中散步,无意间听到几个盗贼在商量怎样分偷来的布匹。他们说,若每人分6匹,就会剩5匹,若每人分7匹,就会差8匹。试问,这里共有几个盗贼?布匹总数又是多少?”杨损让两个候补人员当场在大厅的石阶上用筹进行计算。不一会,其中一个得出了正确答案,他被提升了,大家对这个决定也都表示心服。

　　三、体积计算在农业生产中的应用举例

　　我国在古代,由于水利工程、国防工事、房屋营造和道路修建的需要,土方计算十分频繁。随着农业生产的发展,各种谷仓、粮库容积的计算也益加繁重、到《九章算术》成书时代,我国的各种几何体体积公式都已具备,除了常见的长方体、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台以外,还出现了某些拟柱体体积公式。这些公式大量汇集在《九章算术》商功章里。

　　古代世界各国体积公式都没有推导证明,所以在几何体求积方面我国成果遥遥领先,不论在种类齐全完备上,在逻辑推理的完整上都是同时期外国所不能比拟的。还必须指出二千年前我们祖先曾经使用过的许多丰富多彩的各种体积公式至今仍有使用价值。以下给出《九章算术》的精彩例子,以飨读者。公务员之家

　　例3:今有委粟平地,下周一十二丈,高二丈,问积及粟几何?

　　今译:有粟若干,堆积在平地上成圆锥形,它的底圆周长是12丈,高2丈,问它的体积及粟各是多少?

　　答曰:积八千尺,为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六。

　　例4:今有委菽依垣,下周三丈,高七尺,问积及为菽各几何?

　　今译:有菽若干,靠墙堆积,它的底圆半周长3丈,高7尺,问它的体积及菽各是多少?

　　答曰:积三百五十尺,为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八。

　　例5:今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何?

　　今译:有米若干,堆积在墙的内角,它的底圆周长的四分之一是8尺,高是5尺,问它的体积及米各是多少?

　　答曰:积三十五尺九分尺之五,为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一。

　　关于这种计算堆积的方法,在我国民间沿用很广,并将这些公式编成歌诀流传下来。其歌诀是:

　　光堆法用三十六,

　　倚壁须分十八停,

　　内角聚时如九一,

　　外角三九甚分明。

　　这些流传的歌诀,可能就是后人根据《九章算术》的这个“委粟术”编写而成的。很明显,歌诀前三句的意思,就无异于“委粟术”的术文。至于歌诀的第四句,就是依墙外角堆米,参照术文可表达为:“依垣外角者(居圆锥之四分之三也)二十七而一”。不过,《九章算术》中没有这样的例子。

　　总而言之,我国古代数学思想在农业生产中的应用极广,本文所述仅是冰山一角,该文的作用充其量是抛砖引玉罢了。

　　[参考文献]

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　　[2]沈康身.中算导论[M].上海:上海教育出版社,1986.

　　[3]夏树人,孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆:重庆出版社,1984.

　　[4]李逢平.中国古算题选解[M].北京:科学普及出版社,1985.

　　[5]王宗儒.古算今谈[M].武汉:华中工学院出版社,1986.

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