数学分析教学与中学教学之比较和衔接

　　1问题的提出

　　数学分析是一个庞大的、内容广泛的知识系统，它在师专数学教育专业的课程教学及对相关后续课程的影响，充分说明了其在数学专业课程设置中的重要地位，同时教学难也是师生之共识。据问卷调查显示:76%的同学在校学习期间对数学分析课最感兴趣；89%的同学对数学分析学习投入的时间和精力最大;56%的同学认为毕业后留有印象的课是数学分析课；92%的同学认为该课程对后续课程有重要影响；而只有11%的同学将该课列为对中学数学教学作用最大的课。国家教育部从未颁布过统一的数学分析课课程标准，直至1995年调整教学计划后，我校也同其他学校一样自行编制了数学分析教考点纲要（见文①）对教学内容进行遴选、教学方式进行改革，以达到提高学生的数学素质之目的和应对专升本挑选的要求。俗话说“良好的开端是成功的一半”作为数学分析课的任课教师应对该门课程的内容、结构和大一学生的知识结构进行分析，进而采用得当的教学方法，实现初等数学与数学分析课的顺利衔接。

　　2结构分析

　　2.1课程内容丰富、结构复杂

　　数学分析课程内容分四篇。第一篇:极限论(包括师专现行教材中②的第1、2、3、4章）第二篇:单变量微积分学（包括师专现行教材中的第5、6、7、8章）第三篇：级数论(包括师专现行教材中的第9、12章）;第四篇：多变量微积分学(包括师专现行教材中的第10、11、13、14章）。据布尔巴基的观点：一切数学一数论、数学分析、几何学、概率统计学等，都可以由：拓扑结构、代数结构、有序结构按一定规律构造出来。拓扑结构的基本概念是相邻、连续、和极限，代数结构的基本特征是“可逆性”表现为反演和否定的形式。从分析课程所包含的四篇内容中可以看出，拓扑结构是数学分析的主结构，而在拓扑结构中又包含了相当的代数结构，如极限、导数的四则运算；级数论中的序列、级数等方面的知识，又表明有序结构也大量存在。总之，数学分析是由拓扑、代数、有序结构的相互融合而构造出来的。例如：liman=a^Ve>Q3nGNMn>N，有U-ake中，它同时包含了数学中的拓扑、代数、有序三种复杂的逻辑结构，在中小学教材中从未出现过，在大学低年级的教材中也少见。例如在高等代数课程中占有重要地位的“线性相关”这一概念：向量组aia2,asOl)称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数k1，k2,ks使kia1+k2a2++ka=0。它也只不过包含了代数、有序这两个逻辑结构。

　　22学生的知识结构不够健全

　　通过全国普通高等学校统一招生考试进入大一的学生，一般来说基本功较扎实。初等教育阶段他们所接受的是常量数学，而常量数学研究的是常量关系、平面、空间的直线与简单的曲线、曲面，其概念较为简单、直观，容易被接受理解;而数学分析是对初等数学的总结、提炼和升华它以极限、导数等概念为工具来对变化着的量一函数进行研究，利用运动变化的思想去考察认识其中抽象的、具有空间形态的定义、概念、定理和相关法则，它把研究对象放在无限的、运动变化的过程中去

　　完成对对象的认识。例如导数定义:f'(.x)=,\1^/(+■)~f(X))它是把切线看成割线无限运动变化的而又稳定的变化趋势。在初等教育阶段，学生对数学知识的学习主要是靠背(公式、定理)和套(公式、例题、习题）的方式，缺乏对知识系统的融汇。从教学的具体内容来看，初等教育阶段所学习的数学主要是代数和几何知识；从教学过程来看，初等教育阶段重视的是运算教学，忽视概念教学，重视识记教学，忽视思维训练。12年来重复构建的结果形成了明显丰富的代数、有序结构，而拓扑结构未能得以建立。数学分析它向学生提供的是符号化、形式化的定义和概念，模型化、公理化、辨证的数学思想方法。训练学生的抽象思维、逻辑思维和创造性思维，训练理解和运用符号的能力，推理判断和决策能力，培养他门逻辑清晰严谨，思考缜密细腻。

　　3衔接的实现

  3.1课程开篇的处理

　　3.1.1绪论课。利用绪论课向学生介绍微积分的发展简史，破除数学分析的神秘感;介绍数学分析的主要内容的知识体系和基本理论;介绍数学分析的基本方法以示与初等数学的联系和区别，从而使学生对数学分析有个概貌了解充分认识该课程在专业课程设置中的地位和意义。让学生从主观上接受这门课。

　　3.1.2第一章的处理。在第一章（函数）的处理上，我认为应安排8~10课时给学生补习数学分析必要的与经常用到的数学知识，如函数的性质、不等式的性质与解不等式，二次函数，应用二次函数解一元二次不等式，求极值和最值问题，数列、特殊数列求和方法，二项式定理等等。这不是简单的复习，是在为数学分析的教学、知识和思维上所作的必要的准备。数学分析的核心思维，是对无穷小量的辨证思维，是“极限定义”精确的定量化的“e-N、“e-？语言。这历来是学生难以掌握的分析知识和分析方法。但由于预先补讲了经过教师提炼的证明不等式的缩放法，计算数列的错项相减法，求函数用到的代换法等，从而让学生获得了对日后学习具有普遍指导作用的知识。实践表明，“e-3’语言这个历来被认为难以理解的问题就顺利解决了。这也就为数学分析课程本身拓扑结构的确立奠定了基础。

　　3.加强概念教学，确立辨证思想

　　数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。概念教学是数学分析教学的重要环节，又是知识学习的核心，其根本任务是准确地揭示分析概念的内涵和外延，是学生思问题和推理论证的依据。数学分析中的概念及其相互关系无不闪烁着辨证的思想。在形而上学看来，直就是直，曲就是曲，非此即彼，但唯物辩证法认为，在一定条件下，曲与直可以相互转化。如在数学分析课程中求曲边梯形面积，曲线的弧长，求曲顶柱体体积，曲面面积都是利用“以直代曲”这一辨证思想使得直与曲这一对矛盾实现转化的例子。又如，在对微分这一概念的理解和把握上，

　　恩格斯有精辟的论述:如果一杯水的最上面一层分子蒸发了，那么水层的高度x就减少了dx水子一层一层的蒸发，事实上这是一个连续不断的微分；反过来，如果水蒸气在一个容器中由于压力和冷却又凝结成水，而且分子一层层累积起来，直到容器满了为止，那么这里就进行了一次积分。这样对蒸发和凝结的生动比喻，深刻表明了微分和积分概念中所蕴涵的辨证唯物主义思想。

　　3.3高屋建瓴的点明数学分析与初等数学的联系及其对初等数学所起的解释作用

　　俗话说：站得高看得远。作为变量数学的数学分析，初等数学是它的基础，二者有本质区别而又有必然联系。将分析的理论和方法应用于初等数学进而指导初等数学的教学，对解决其中的问题，拓广解题思路和技巧，提高学生的数学素质有重要意义。例如，初等数学对祖横原理只作为公理进行应用，没有给出其证明，事实上，中学数学知识无法证明它。而在数学分析课程中利用积分理论可以很容易地给出其证明。证明：建立空间直角坐标系，使两个平面中的一个与xoy面重合，另一个位于xoy面的上方。设这两个平面之间的距离是hVzG0,h过点z且垂直于z轴的平面与这两个几何体相截。

设截面面积分别是P(z)和Q()已知P(Z)=Q(Z)据已知立体的截面面积求体积公式，这两个几何体的体积分别是：

　　hhhhV=。P()ck,V2=。Q()dz,则M=。P()dz=。Q()dz=V2即这两个几何体的体积相等。