数学类专业的数学实验教学研究与实践

　　0 引言

　　随着社会信息化和科学技术的进步，社会对数学人才的知识结构和能力素质提出了更高要求，要求数学类专业培养的学生能灵活运用数学的思想、方法和所掌握的数学知识解决实际问题，以适应信息社会对数学人才的需要&_3。显然,传统的课程体系、教学观念和教学方法已不适应当前形势的发展。面对这种形势,数学类专业的课程教学如何由传统的单纯知识传授型、思维训练型向培养学生判断能力、应用和创新能力型转变,如何利用先进的科技为数学教育服务,成为数学教学改革必须探讨的问题。

　　始于上世纪90年代初的大学生数学建模竞赛,直接推动了大学的数学教学改革“数学建模”和与之密切相关的“数学实验”成为大学数学教学改革的突破口，“数学实验”受到国家教育部和各高等院校关注。近10多年来,数学实验教学研究空前高涨,研究者发表了大量有关数学实验的文章,探讨什么是数学实验、数学实验的分类、数学实验的作用和价值、数学实验教学内容的选择、数学实验课程的教学方法、数学实验课程与其他课程的关系等等，出版了几十本各式各样的数学实验教材。经过这10多年的研究和实践,取得了一系列成果,大大地丰富了数学实验教学的内容,其理论和思想方法对数学实验教学具有指导意义。不过,大部分的数学实验教学研究和实践主要面向非数学专业,极少有针对数学类专业的。

　　我院作为贵州省的一所地区本科院校，数学系的两个数学类专业一“数学与应用数学”和“信息与计算科学”在人才培养目标上更加强调应用型人才的培养。我们从2002年开始组织学生参加全国大学生数学建模竞赛,2003年开始开设数学建模和数学实验课程,之后我们认为，数学类专业的很多课程应该有数学实验,有必要探寻一套适合数学类专业的数学实验教学模式,将数学建模、数学实验的思想和方法融入数学类专业的课程教学中去[4。为此,从2006年开始，除开设“数学实验”课程以外,尝试在“运筹学’、“概率统计‘常微分方程’、“计算机图形学”等课程的教学中设计实验项目，增加实践教学环节，同时强化‘‘数值分析“数学建模”等课程的实验教学，并启动了“构建基于Matlab的网络数学实验室”的建设项目，开始有目的、有计划地进行数学实验教学的研究与实践。

　　1数学类专业的数学实验教学方案

　　开展数学类专业的数学实验教学研究与实践，目的是构建一套适合数学类专业的数学实验教学体系,将数学建模、数学实验的思想和方法融入数学类专业的课程教学中去,使学生的动手能力、应用数学解决实际问题的能力得到良好的训练,应用数学的意识得到加强,激发学生学习数学的热情,促进学生对数学理论知识的学习和理解,较好地实现专业培养目标,成为社会有用的、需要的数学人才,提高就业竞争力,并以此推动数学类专业的课程建设,深化教学改革,进而构建强化实验教学、突出实践性和研究性的数学类专业的课程教学模式。为此，关于数学类专业的数学实验教学（MathematicalExperimentTeachinginSpecialtyofMathematics简称METSM方案)，我们提出如下实验教学:将数学实验贯穿于数学类专业的课程教学中,并分3个层次,由易到难,逐步提高数学实验的综合性和难度。具体地,在第三学期先开设“数学实验基础”课程,先让学生掌握常用数学软件的使用和数学实验的过程与方法,为以后在各门课程进行数学实验奠定基础;之后,在各门课程的教学中,结合理论知识的教学设计实验项目,增加实验教学内容,使学生通过实验促进知识的理解,初步掌握知识和方法的应用,提升应用数学知识解决实际问题的能力;最后,设置综合性较强的“数学实验’、“信息与数学交叉科学实验”和“算法应用实验”等实验课程,引入大作业实验项目，以项目为驱动,采用导师制,让学生用工程的思想和方法来设计实验和实现实验,经历从问题提出、调研、系统分析、模型建立、算法实现及评价几个阶段来实现实验,以培养学生的研究能力和创新能力。另外,充分应用信息技术支持实验课程体系的构建,构建“基于Matlab的网络数学实验室”5作为数学实验教学、组织、管理、评价的平台。

　　在我院2009年的人才培养方案中，“数学与应用数学”和“信息与计算科学”专业的课程计划明确了开设数学实验的课程及实验教学的课时数。具体详见表1和表2。

　　1METSM方案各主要环节的处理

　　1.1‘‘数学实验基础”课程的教学

　　实施METSM方案“数学实验基础”为先行课程,课程的教学目的是让学生掌握应用计算机和数学知识解决实际问题的过程和方法，掌握进行数学实验所需工具的使用，训练学生的数学实验技能,培养学生应用数学的意识和能力。在教学内容的安排上,①进行数学实验的概念、背景及数学实验过程和方法的介绍，通过1、个实验案例的演示教学，让学生了解数学实验是怎么一回事,知道数学实验的环节和数学实验报告的编写要求;②介绍数学实验环境和各种数学软件的特点及应用，重点进行Matlab的教学；③在数学学科的各个方面选择比较典型的、难度不大的实验案例进行教学。“数学实验基础”课程的教学在整个实验教学系统中，起奠基性的作用，它是后续课程顺利开展数学实验教学和完成实验教学任务的关键。

　　在数学实验教学中，开始有相当多的学生不能做数学实验,完不成实验任务,常常是因为计算机及数学软件的操作和使用水平低、程序设计的能力弱。实际上，掌握计算机及数学软件的操作和使用、具备一定的程序设计能力是进行数学实验的基础。因此“数学实验基础”课程的教学肩负着为学生打好基础的重任,计算机及数学软件的操作和使用、程序设计能力的训练是该门课程教学重点。但由于这方面的教学涉及面广，实践性强，因而也是教学的一个难点，困难在于如何在有限的课时内处理好教学的广度和深度，同时又能充分训练学生的实际操作能力。以信息技术构建课程体系，大大地丰富课程教学资源，整合课内、课外教学，在教师的引导下学生自主学习与探究,并在课外时间完成一定的实验任务。

　　典型实验案例教学是‘‘数学实验基础”课程教学的主要内容,对每个实验案例的教学采取“教师讲解与演示+学生自主探究与实践”的方式进行。也就是说,对具体的实验案例，先由教师做实验演示，讲解数学实验的方法、步骤和应完成的具体任务,然后设计与实验案例类似的实验项目让学生仿照完成。典型实验案例的教学,关键是实验案例的选择和处理，以及设计与之类似的实验项目，我们选择和设计的实验案例分为4类:①基于基本数学理论和计算的实验，主要侧重于数学软件的操作和使用，一般为验证性实验,这类实验的设计,我们以文献6]的第一篇作为参考;②基于微积分、解析几何与线性代数及典型数学理论与方法的实验，如％的计算’“几何变换’“迭代计算”等H;③基于基本数值计算方法的实验，通过实验让学生掌握算法的描述，训练学生实现算法的程序设计能力&];④综合性较强的实验，一般是针对一个实际问题,通过对问题的分析和假设，建立数学模型，完成对模型的求解，并对问题解决和方法的评价进行评述。

　　另外,数学实验涉及的知识面较广,有诸多环节，我们以信息技术构建课程体系，构建“基于Matlab的网络数学实验室”作为数学实验教学、组织、管理、评价的主要平台。因此,在‘‘数学实验基础”课程的教学中，还必须教会学生如何充分应用网络资源和网络课程教学系统,掌握在‘‘基于Matlab的网络数学实验室”环境下学习、实验、交流的方法。

　　1.2数学实验项目的分类与设计

　　METSM方案的实验课程建设，主要任务是设计好的能结合课程内容的实验项目，数学实验项目的设计应遵循科学性、系统性、知识性、规范性、灵活性和典型的应用性原则，以学科理论为基础,促进学科知识的掌握和应用为目的，训练和提高学生综合应用学科知识解决实际问题的能力为目标。下面我们将数学实验项目分为理论传授型实验、理论应用型实验和理论探究型实验3种类型来讨论数学实验项目的设计。

　　(1)理论传授型实验。以计算机及数学软件为实验工具,以课程基本理论和方法为实验内容,通过编程或利用数学软件来计算、证明数学问题，解释概念、定理、原理和方法,验证结果、方法和现象,探究某些数学问题，实现具体的算法。以理论教学为主的课程,大部分数学实验为理论传授型。理论传授型实验的设计基于课程的理论知识与方法,包括理论形成过程的探索、理论与方法的验证演示与应用、基本计算与演绎分析的机器实现、将高度抽象的数学概念可视化和形象化等,实验内容和目标比较单一,强调突出课程教学的重点,有效地解决难点。理论传授型的数学实验是课程教学内容的补充和发展,是课程教学的一种辅助手段,有助于增强教学过程的生动性、直观性以及可操作性,加深对基本概念和基础理论的理解。通过实验让学生去体验如何发现、总结和应用数学规律,提高学生学习的兴趣,扩充解决问题的思想与方法,将数学实验作为数学学习、研究和解决问题的一种有效的方法。

　　(2)理论应用型实验。将数学理论知识、数学建模与计算机应用融为一体的数学实验，是在理论传授型实验的基础上,加强学生应用数学知识的能力培养,使学生体验‘‘实际问题-数学模型-解决问题-论文报告”的全过程,从中受到严格、规范的数学应用的训练,属于综合性较强的实验。对以理论教学为主的课程和理论与应用并重的课程，实验项目的设计应充分体现学科知识和方法的典型应用，选择与学科理论知识结合比较紧密的案例作为实验的内容，让学生通过实验了解学科知识的应用，并掌握应用的方法。对于侧重于应用或纯实验的课程，实验项目的设计主要针对常用的数学方法和计算,如统计分析、随机模拟、优化计算、数据处理等的典型应用。在三类数学实验中,理论应用型实验是主要内容,是实验教学的重点,通过这类实验可以弥补常规教学的不足，扩大学生的知识面,让学生掌握更多的解决实际问题的数学方法,应用数学知识的能力得以提高一个层次。

　　(3)理论探究型实验。指应用于数学的研究、创造新的理论和方法的数学实验，它以计算机为实验工具、以某种数学现象或方法为实验背景，以提出和解决某种数学猜想或假说（包括数学定理、数学公式、数学计算方法以及数学表示和刻画等）为实验目的。理论探究型实验是从问题出发，利用计算机及数学软件的计算、绘图、模拟、符号演算等功能做大量实验,发现其中可能存在的规律，提出猜想（或假说），通过数学实验进行思想的启发引导，最终论证猜想的过程。这里的大量实验是需要学生自己设计的，包括如何确定可变参数、关键参数及参数变化的方法以及变化范围，如何编程,提出猜想等。实验项目的设计,关键是结合学科理论提出适当的研究问题，明确实验的内容和方法,而具体的实验过程由学生自行设计。理论探究型实验对教师和学生的要求都很高,特别是问题的提出，要求任课教师必须对课程学科有系统深入的研究，提出的问题既可做也能做，而学生必须具备扎实的学科基础且有一定的研究能力。因此，理论探究型实验项目的量并不大，其中大部分为选做、合做，常作为学生的科技活动项目或毕业论文（设计）的研究问题。对于数学类专业的本科生,参与做1、个理论探究型实验是很有必要的。这样的实验为学生创造了一个现代科研工作的模拟环境，充分发挥学生的主观能动性和创造力，让学生感知科学发现的过程,享受创新的快乐。

　　构建专业的数学实验教学体系，进行实验课程建设,设计实验项目继而拟定课程实验教学大纲是最为重要且具体的工作,需要经过长期的积累和完善。

　　2.3实验环境建设及实验教学的组织和管理

　　工欲善其事,必先利其器,创建良好的实验环境才能保证实验教学的顺利实施，保证实验教学的质量。实验环境建设包括硬件系统建设和软件系统建设，其中，硬件系统建设相对比较简单,只需配置一定数量且达到一定参数要求的PC、服务器和网络设备就可以了；比较复杂的、也是常被忽视的是软件系统建设，软件系统主要包括实验所需的数学软件和实验教学管理系统,后者是软件系统建设的关键。为此，于2006年在我院申报了题为“构建基于Matlab的网络数学实验室”建设项目，整合原有的数学建模实验室和计算科学实验室,初步建立了集实验教学组织、管理和网络计算于一体的‘‘网络数学实验室”0,此外，该实验室还具有以下功能特点:①它的开放性使实验教学不再受到设备、地点、时间的限制，通过整合课内、课外教学,使学生有条件、有时间完成实验;②实现应用信息技术支持的实验课程建设;③实现数学实验教学的适时交流与评价。在该环境下的实验教学组织和管理流程如图1所示。

　　‘‘网络数学实验室”既是数学实验教学的基础,也是METSM方案的核心。它集实验课程建设、实验教学的组织和管理于一体,提供了网络化的数学实验教学方法和手段。

　　2.4数学实验教学的方法和手段

　　数学实验涉及理论知识的理解、掌握与应用、计算机及其软件的使用与操作、求解问题的程序设计、对结果的分析与处理等多个方面，对教师和学生的要求都比较高,对长期接受传统数学教学的学生来说,其难度可想而知，将会耗费大量的精力和时间；数学实验属于实践研究活动,既强调学生独立操作,也要求他们能协同工作,积极地交流与研讨；另外，实验教学必须具备一定的条件和环境。因此,数学实验教学的方法原则上是依托“网络数学实验室”，大部分采取网络化的实验教学方法一课外整合教学模式13。教学中以学科理论和方法为基础，以计算机及数学软件（主要是Mlatlab)为工具和手段，以问题的研究和解决为目的，在教师的主导下由学生独立或协作完成实验项目。实验的组织和管理流程见图1。但不同的课程、不同年级和不同类型的实验,采取的教学方式会有所不同，如‘‘数学实验基础”中的实验教学我们采取“教师讲解与演示+学生自主探究与实践”的方式：“数值分析”实验教学采所构建的教学模式；综合性较强的大作业实验项目我们采取导师制。在实验教学中不管采取什么方法,都必须充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。

　　2.5理论教学与实验教学的关系处理

　　METSM方案中，大部分实验教学囿于课程教学，必须正确处理理论教学与实验教学的关系。

　　培养学生具有扎实的数学理论基础和较高的数学素养是数学类专业课程教学的主要目标，学科理论知识和方法的教学、数学思维的训练是教学的重点,对于这点，我们强调不能因为实施METSM方案而改变。理论传授型实验的教学应成为课程理论教学的一种辅助手段,数学实验成为数学学习和研究的方法;理论应用型和理论探究型实验的教学要能促进学生对知识意义的建构，同时,使学生在应用数学知识解决实际问题的能力、创新能力和研究能力得到良好的训练,成为研究型和应用型的复合型人才。

　　实际上,在METSM方案中，哪些课程需要增加实验教学环节以及课程教学计划的制订、实验项目的设计都体现了我们对理论教学与实验教学的关系处理。比如：

　　(1)选择在第三学期开设‘‘数学实验基础”课程，一方面考虑到这之前学生不具备开设这门课程的基础，同时,也不希望在此之前开设这门课程造成对‘‘三基”课程（“高等代数’、“数学分析”“空间解析几何”）的教学干扰,让学生集中精力打好基础。

　　(2)含实验课程的开设大部分在第五、第六和第七学期，一方面考虑这些课程的理论有直接的应用，同时也考虑学生经历了两年理论课程的学习，数学的思维训练已达到一定的水平，已具备进行数学实验的数学基础和能力。进行数学实验可以促进理论知识的学习，也可以让学生掌握理论知识和方法的应用，数学软件的使用不但不会影响学生的思维训练，还能成为帮助学习思维的工具。

　　(3)在含实验的课程教学中，数学实验教学总是围绕课程理论知识和方法来开展,都是先理论后实验。学时的安排上,理论教学的学时数_般多于实验教学的学时数,不过增加了实验教学，由于数学软件实现了课程中的一些计算,计算的技能和技巧已不那么重要，课程内容的讲授重点和难点发生了一些改变，重要的是基本概念、基本结论、基本思想方法、算法的设计与实现,教学模式从讲授型向探究型转变，采取“精讲”压缩理论教学的课时，以增加实验教学的课时。但不能过分强调实验教学而刻意压缩理论教学的课时，一定的理论教学时数必须保证。实验教学的课时不足可以通过改善实验环境和整合课外教学来解决。

　　(4)在理论型实验教学中，我们应让学生明白计算机及数学软件可以帮助我们做什么，掌握以计算机及数学软件为工具和手段的数学学习和研究方法，知道在数学的学习和研究中哪些方面可以使用计算机及数学软件使我们从繁琐的工作中解脱出来，而把精力集中在探索解决问题的方法上和对问题作深层次的思考。但我们也要让学生明白，在数学的学习和研究中，计算机及数学软件不是万能的，不能滥用技术手段和过分依赖,否则将得不偿失。

　　2.6数学实验教学的师资队伍建设

　　实施METSM方案,要求有一支高素质的实验教师队伍,任课教师必须具备数学实验教学的能力如下。

　　(1)实验课程建设和实验项目设计的能力。要求教师必须对学科理论有深入系统的研究，不断更新知识和扩大知识面，能提出问题。

　　(2)组织指导学生实验的能力。要求教师必须熟练掌握计算机及数学软件的操作和使用，具备以计算机及数学软件为工具和手段研究和解决数学问题的能力。

　　(3)数学建模的能力。要求教师掌握数学建模的方法,熟悉数学建模过程,能建模。

　　实验教学管理人员要能完成实验室管理、实验教学管理、网络实验教学系统的维护、实验课程和制度的建设等工作，当然,能完成这一系列任务的实验管理人员的能力和水平也是不低的。

　　由于现在的大部分中老年教师甚至青年教师，是在传统的课程教学模式下培养起来，并不具备数学实验教学的能力，因此,师资水平一直是制约全面开展数学实验教学的瓶颈。为此，在师资队伍建设方面我采取了下面的措施:①发挥数学建模竞赛指导教师作用。大学生数学建模竞赛培养了一批具有数学实验教学能力的指导教师,他们是师资队伍的中坚力量，可通过他们的带动、帮扶、培训来进行师资队伍建设;②要求有条件、有能力的教师对担任的课程,尽可能开设实验教学,在教学实践中锻炼成长;③在人才的引进上部分提出必须具有数学实验教学能力的要求;④把数学实验教学能力作为中青年教师应具备的一项基本功，促使他们自觉学习和锻炼;⑤开展数学软件的操作和使用培训。实施METSM方案，需要一支掌握信息技术和数学技术的师资队伍,METSM方案实施支持这样一支师资队伍的建设。

　　1实施METSM方案的影响和效果

　　METSM方案的实施即构建一套数学类专业的数学实验教学体系，它将对数学类专业的课程教学和课程建设、师资队伍建设、人才培养等产生积极的影响，具体表现如下：

　　(1)在数学类专业的课程教学中，教师不能只单纯讲理论,还必须关注理论知识和方法的应用，处理好理论教学和实验教学的关系，教学方法上应将课内的“精讲”和课外的“探究”相结合；

　　(2)数学类专业的数学实验教学体系的构建将进一步深化数学类专业的课程教学改革，构建强化实验教学、突出实践性和研究性的课程教学模式；

　　(3)计算机及数学软件成为课程教学、数学学习和研究的重要工具和手段,教师和学生都必须熟练掌握它们的操作和使用；

　　(4)实验项目设计、实验课程建设拓展了课程理论,也将因此推动数学类专业的课程建设；

　　(5)“网络数学实验室”环境下的实验课程建设和实验教学，改变了课程建设的方式和教学的方法；

　　(6)METSM方案对数学类专业的任课教师提出更高的要求,促进了师资队伍建设,支持建立一支现代教育技术水平高，掌握信息技术和数学技术的师资队伍；

　　(7)数学实验必须以扎实的理论为基础，学生通过大量的数学实验既深化了学科理论的学习，同时也掌握了理论知识和方法的应用，解决实际问题的能力得到充分训练,相应的能力也会得到更大的提高，这将有助于人才的培养。

　　经过近几年的研究和实践,METSM方案的实施取得了一定的成绩,效果是显著的。

　　(1)建立了数学类专业的实验课程系列，同时也优化了课程设置和课程计划。另外,通过实验项目设计、实验课程建设拓展了课程理论,推动了数学类专业的课程建设；

　　(2)将数学建模、数学实验的思想和方法融入数学类专业的课程教学中，采取强化实验教学、突出实践

　　性和研究性的课程教学模式有利于人才的培养；

　　(3)“网络数学实验室”环境下实验课程建设和实验教学，充分发挥了信息技术在课程建设和教学中的优势,建立了具有时代特色的网络实验课程,其教学功能更多、更强,教学和管理工作的效率更高，教学效果更好；

　　(4)学生通过大量的数学实验，激发了学习的兴趣和动力，深化了理论知识的学习和理解,学生熟练掌握了计算机及数学软件的操作和使用，数学技术水平得到较大的提高。比如，我院的学生每年参加全国的大学生数学建模赛都能取得优异的成绩,数学系每年考取研究生的人数也逐年上升；

　　(5)加快了师资队伍建设，目前我们已经建立起了一支能支撑实施METSM方案的实验教学师资队伍；

　　(6)METSM方案的实施全面带动了数学类专业的课程教学改革,采用的教学手段,设计的一些课程教学模式是行之有效的，如“数值分析”课程的教学M,建立的基于Matlab和网络的大学数学教学模式一UMT-MN模式15。

　　4结语

　　强化数学实验教学,将数学建模、数学实验的思想和方法融入数学类专业的课程教学中去，课程教学应突出实践性和研究性,这已成为数学类专业的课程教学改革的发展趋势,我们所提出的METSM方案,给出了构建数学类专业的数学实验教学体系的一种思想框架,将进一步促进数学类专业的数学实验教学体系的构建,促进数学类专业的课程教学改革和人才培养。经过近几年的的研究和实践,METSM方案的实施效果是显著的,教学中所采取的措施和方法是非常有效的。但是,数学类专业的数学实验教学研究与实践是一个涉及数学类专业的人才培养及课程教学改革的研究项目，是一个系统工程,一个需要经过长期研究和实践的项目，研究不可能立竿见影,需要做的工作和处理的问题还比较多,如实验项目的设计、课程教学内容的修改及教材的编写等都需要花费大量的时间和精力，目前的实验教学资源也还不是很丰富，教师的素质有待提高，这些工作和问题的处理需要较长的时间才能完成。同时,希望更多的学校和教师能在我们所设计的框架下开展实践和研究，共同探索，相互交流，以加快研究的步伐。