关于函数极限教学的改革与实践

　　

　　1.函数极限教学的难点所在

　　函数极限是讨论函数y=f（x）在自变量x为如下的六种变化趋势下，函数因变量y随着自变量x的变化而变化的规律性.

　　函数自变量x的六种变化趋势是：

　　1）x→x；2）x→x；3）x→x；4）x→∞；5）x→+∞；6）x→-∞。

　　当x是上面六种变化情况的某一种时，若函数的因变量y越来越接近于某一常量A，则我们称当x趋向于某个东西时，f（x）以A为极限.但这是只是描述性定义，而非精确定义.此外，我们还需要考虑x趋向于某个数值时，f（x）以∞，或+∞或-∞为函数极限的定义，因此，讲函数极限时，将有二十四个函数极限的定义，讨论函数极限的概念后，我们还要讲函数极限的相关性质，主要有：（1）极限的唯一性；（2）有界性；（3）保号性.关于这个方面有不少的定理.然而事实上，没有一本教材能全部介绍相关定义并证明相关性质.而学生面对这么多的定义及相关性质证明也往往是一头雾水，所有这些，正是函数极限教学的难点所在，也是多年来高等数学教学中没有解决的一个重要问题.

　　2.函数极限教学的探索与实践

　　2.1定义的改进

　　用“x→w”表示x趋向于x→x；x→x；x→x；x→∞；x→+∞；x→-∞六种情形中的任意一种，简称当x趋向于某个东西，则函数极限的表达式可改为：f（x）=A，这里的A可取∞，或+∞或-∞，从而将二十四个极限情形统一到一个表达式中。当然A为有限值时，称极限存在；A为无穷时，称极限不存在.

　　2.2函数极限定义的探索

　　2.2.1当A为有限值，即极限存在时，函数极限的定义探索.

　　对极限f（x）=A，我们定义为：?坌ε＞0，?埚“w”的某个范围，只要x属于“w”的这个范围，就有|f（x）-A|＜ε成立，即f（x）∈U（A，ε），则称x→w时，f（x）以常数A为极限，记为f（x）=A.

　　例1.f（x）=A可定义为：?坌ε＞0，?埚U（x，δ）（δ＞0），当x∈U（x，δ）时，就有f（x）∈U（A，ε），则称f（x）=A.

　　例2.f（x）=A可定义为：?坌ε＞0，?埚（x，x+δ）（δ＞0），当x∈（x，x+δ）时，就有f（x）∈U（A，ε），则称f（x）=A.

　　例3.f（x）=A可定义为：?坌ε＞0，?埚某个范围（M，+∞）（M＞0），当x∈（M，+∞）时，就有f（x）∈U（A，ε），则称f（x）=A.

　　总之，可将所有有限极限的情况归于一个模式列出，让学生对照比较，找出其共性，从而加深对概念的认识和理解.

　　2.2.2x→w时，f（x）以无穷为极限定义的探索.

　　有了前面的讨论，我们可给出f（x）=∞或f（x）=+∞或f（x）=-∞的定义：?坌M＞0，?埚“w”的某个范围，当x属于“w”的这某个范围时，f（x）属于关于M的某个范围，则称x→w时，f（x）以无穷为极限.

　　例4.f（x）=∞可定义为：?坌M＞0，?埚U（x，δ）（δ＞0），当x∈U（x，δ）时，有f（x）∈（-∞，-M）U（M，+∞），即|f（x）|＞M.

　　例5.f（x）=+∞可定义为：?坌M＞0，?埚M＞0，当x∈（-∞，-M）时，有f（x）∈（M，+∞），即f（x）＞M.

　　我们也可将十八个定义列出让学生比较，并引导学生思考，从而掌握上述十八种定义的精髓.

　　3.关于极限性质的教学改革探索

　　有了上述改进，关于极限性质，我们也可以根据不同情况将某一性质放在同一地方来讲.

　　例如讲极限唯一性，证明当f（x）为有限极限时，则极限是唯一的，可分别将：f（x）=A及f（x）=A极限的唯一性放到一块证明；

　　f（x）=A及f（x）=A极限的唯一性也放在一块证明.

　　通过其证明过程，学生会发现证明的过程只是稍微改变就可以了.

　　在极限性质的教学过程中都可以做类似的处理，通过分析和引导，让学生发现函数极限真正的内涵和本质.例如在局部保号性情况方面：

　　对f（x）=A，若A＞0与f（x）=A，A＞0两种情形中：

　　第一个说明在x的某个领域内，即x∈U（x，δ）时，有f（x）＞0；

　　第二个说明在x足够大时，即x∈（M，+∞）（M＞0）时，有f（x）＞0.

　　通过这种比较，学生会对极限的性质有一个本质的认识，即若A＞0，只要x属于一定的范围，则这个范围内的函数值都大于零.

　　4.结语

　　高等数学的教学改革是当前必须面对的一个重大课题，在中学数学课程改革的背景下，高数教学改革尤为重要.以上是我二十几年来高等数学教学的几点认识，通过教学实践，收到了良好的教学效果。但改革任重道远，我们还需总结经验，克服不足，将改革引向深入.

　　

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