概率论教学探讨――重视概念理解

　　概率论与数理统计是几乎每所高等院校理工科专业本科阶段的必修数学课程，它是研究随机现象的一门学科，它与实际问题联系非常密切，应用非常广泛。但是初学者往往觉得难以理解。在教学过程中笔者试图作如下探索与尝试。

　　一、概率的三种定义的理解

　　概念对于数学课程的学习至关重要,概率论与数理统计中的概念也不例外，从一开始就要引导同学们重视理解概念。

　　比如在第一章中，一般都提到了概率的三种定义：统计定义（即用频率来定义），古典定义（对于古典概型来说），公理化定义（Kolmogrov首先提出）。动脑筋的同学自然会想它们到底有什么关系，各自有什么特点。统计定义是最符合人们直观感觉的一种定义，用大量重复中事件出现的频率作为其概率（在这里要承认频率具有稳定性，这是概率论存在的经验基础），在很多应用中的确是这样用经验来估计概率的，那么它跟古典定义的结果是一致的吗。可以这样理解：古典定义只能针对古典概型，即试验中只有有限多的结果，且它们等可能发生（这本身也是基于经验的），就是说根据经验，大量重复试验后，发生的频率的确趋向于古典概型中的定义。这样两者是不矛盾的。而概率的公理化定义是从理论角度抽象出来的，它不管当前考虑的是什么实际问题，不论考虑的概率是掷硬币还是掷筛子，它从大量的问题中提炼出概率应该具有的共性，当然公理的三条是符合人们的直观认识的。注意它并不给出一个实际问题中某事件的确切概率是多少，它的伟大意义在于为整个概率论的建立奠定了严密的公理基础，在此基础上人们可以展开推理，得出许多有用的结果，让概率理论更加繁荣，解决实际问题的威力更加强大。通过这样的一些解释，同学们的一些疑惑就会有所释怀。

　　二、大数定律与中心极限定理的理解

　　大数定律和中心极限定理是概率统计理论中极为重要的两个定理，也是很多实际应用的理论基础.同时这两个定理是概率统计这门课程中同学们感到最难理解的部分。因此教师在此处更应耐心细致的,循序渐进的把它们解释清楚。下面的做法可以考虑。首先，告知同学们这两个定理并不是凭空产生的，它们跟概率统计中其他很多结论一样，都是有其直观背景的。它们只是把现实中很多常见的现象，人们司空见惯、习以为常的规律用严格的数学形式化语言加以表述。因此不要以为它们不食人间烟火的纯粹抽象的东西。这样，减少同学们思想上的畏难情绪，充满信心的去理解它们。然后，概括性的阐明这两个定理的意思分别是什么。使学生抓住定理的关键,明白定理所要表达的主要内容。例如:大数定律主要讨论n个随机变量的均值随着n趋于无穷大的极限为什么；中心极限定理研究的是随机变量的和随着n趋于无穷大时的分布如何的问题。接下来，就可具体介绍两个定理的严格的表述了。当然，在讲大数定律之前需要切比雪夫不等式。因此先介绍切比雪夫不等式，并举几个简单例子加深理解。

　　在讲述了两个定理的具体内容之后，很重要的一点是再解释一下它们的直观意义。现实中人们的很多做法其实是有意或无意的利用的大数定律。比如我们经常把某个量反复测量后取平均值来作为真实值，而不是只用一次的观察值。中心极限定理则解释了为什么很多变量服从或近似服从正态分布。比如，一城市每天用水（电）量，它是由许多户家庭的用水（电）量之和，由中心极限定理可知应近似服从正态分布。

　　三、总结

　　概率统计内容中有很多重要概念。只有真正掌握好概念才有可能把概率理论理解好，应用好。对于概念，不能仅停留在数学的形式表达上，更要理解其内涵和直观意义，知道它们产生的背景和源头，才会明确它们的应用对象。另外，经常注意挖掘概念，可以提高抽象思维、归纳总结能力，这些都是同学们今后继续学习深造乃至独立研究问题所必需的能力。挖掘概念可以培养重视思考，勤于思考的品质，这些品质也是同学们今后在工作岗位把事情做得更好的必要保证。