关于一道多元抽象复合函数求导法的教学探究

　　多元抽象复合函数的求导是高等数学教学中的一个重点和难点。和一元函数相比，多元抽象复合函数由于中间变量和自变量多数情况下不止一个，往往采用链式法则求导。求导过程中需要注意各个变量之间的依赖关系及函数结构，其关?I在于分清函数自变量、中间变量之间的关系。而当多元抽象复合函数遇上隐函数时，学生在做题时就更加觉得困难且容易出错。本文针对高等数学教材上的一道习题采用三种不同的解法，从而有效的引导学生对多元抽象复合函数求导更好的理解。

　　例：设y=f（x，t），而t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所确定的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，求。

　　这是高等数学中的一道习题，学生在做此题时经常会出现如下共性的错误：

　　[错解]由y=f（x，t），得到

　　又由F（x，y，t）=0，则有，于是

　　错因分析：由题设我们知道t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所确定的x，y的函数，将其代入到y=f（x，t）中，则有y=f[x，t（x，y）]由这一方程又可以确定y是自变量x的一元函数y=y（x），于是t=t（x，y）=t[x，y（x）]，这说明t可以看作是以x，y为中间变量，以x为自变量的一元函数，上式错解中的等式是不成立的，应为，从中可以解出。本题学生给出的错解究其原因是没有仔细分清x，y，t三个变量之间的关系，三个变量是你中有我，我中有你，只有厘清他们的关系，才能给出正确解答。在教学的过程中，我们可以通过不同的角度方法来分析解决此类多元抽象函数的求导。下面我们从三个角度给出此题的正确解法。

　　[正确解答]方法1 首先分析变量间的函数关系，把t看作是由方程F（x，y，t）=0所确定的二元函数t=t（x，y），则有：

　　将t=t（x，y），代入函数y=f（x，t），得y=f[x，t（x，y）]，两端同时对x求导得：

　　从中得到：

　　前面的错解就是试图用这种方法求解，但对函数y=f（x，t）=f[x，t（x，y）]的结构没有弄清楚而造成的。

　　方法2 由题可知，所给问题中有两个方程、三个变量，则一般情况下由此方程组可以确定两个一元函数，可将其中一个变量选作自变量，而另外两个变量是它的函数。此题要求的是，于是自变量就已经选定了x，则y，t都是x的一元函数。

　　由方程组F（x，y，t）=0，y=f（x，t），确定两个一元函数y=y（x），t=t（x）将所给的两个方的两端对x求导，有：

　　解上面关于、的方程组可得：

　　方法3 利用全微分形式的不变性对两方程求微分有：

　　即

　　解上面的关于dy、dt的方程组，由克莱姆法则可得：

　　即有：

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