基于认知负荷理论的二元均值不等式链教学设计

　　二元均值不等式链（21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22（a>0，b>0），当且仅当a=b时，等号成立）既是基本不等式的拓展，也是高等数学中均值不等式Hn（调和平均数）≤Gn（几何平均数）≤An（算术平均数）≤Qn（方幂平均数）的特例.二元均值不等式链（以下称为不等式链）是现行中学数学教材中唯一的基本不等式链，其蕴含着简洁统一的数学美.多年来，其证明方式多种多样，不同的证明方法从代数、几何、三角、函数、向量、统计、方程等角度展开[13].但在实际教学中，对不等式链的重视不够，只是简单利用代数方式得出结论，学生很难体会到不等式链的内在本质.教师在不等式链的教学中如何寻求知识间的内在联系，选择恰当的证明方法，以帮助学生建构完善的知识体系，是一个值得思考的问题.

　　认知负荷理论要求教学设计充分考虑到工作记忆的容量限制，以降低学生的外在认知负荷并适当增加相关认知负荷[45].我国当前有关教学设计的研究大多从教师的“教”入手，致力于“有效地教”的理论建构与现实践行，却在一定程度上有意或无意地忽视了“有效地学”[6].课堂的教学效果体现在学生学得怎么样，而不是教师教得多精彩.教师在进行教学设计时忽略了学生的认知能力，在对知识的整体把握和呈现方式等方面增加了学生的认知负荷.在已有研究的基础上，以不等式链为例，基于认知负荷理论进行教学设计，以最大程度降低学生的认知负荷，帮助学生加深对不等式链的理解，建构知识体系.

　　1 认知负荷理论

　　人类只能监控工作记忆中的内容，其他所有认知内容除非进入工作记忆，否则均是隐形的，但工作记忆容量十分有限，大概一次能保存七项信息.由于工作记忆常用于处理信息，导致其只能同时处理两到三个信息项[7].为保证学习效果，需要加工的信息总量应控制在记忆系统的容量内.当解决①α=30°|sinα；②α=15°|sinα两个问题时，在工作记忆中需要加工和存储的信息总量存在差异.Sweller等人将工作记忆在完成任务过程中需要加工和存储信息的全部数量称为认知负荷[8].

　　在信息加工和存储过程中，施加的认知负荷取决于材料的内在本质（内在认知负荷）、材料的呈现方式（外在认知负荷）以及工作记忆在对学习任务进行建构或自动化的过程中承受的负荷（相关认知负荷）[45].由于内在认知负荷是被处理材料的固有属性，它不能通过教学设计进行修改.良好的教学设计应考虑降低学生的外在认知负荷并适当增加学生的相关认知负荷.

　　2 “二元均值不等式链”教学设计

　　不等式链是“人教版”高中数学选修45中基本不等式的拓展内容，作为正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数与平方平均数的大小关系，对学生不等式的学习具有重要意义，有助于学生形成良好的知识体系.但不等式链的形式复杂，是学生学习的难点.在进行教学设计时，新旧知识是否建立联系、课件中教学内容的呈现是否简洁、教师的教学言语是否恰当等都会影响学生的认知负荷.在充分考虑以上因素的情况下，进行如下的不等式链教学设计.

　　2.1 教学内容处理设计

　　将不等式链的代数形式（如图1）与几何形式（如图2）相结合，考虑到新旧知识之间的联系，选用切割线定理模型，进行教学设计.采用合作探究，建构模型的教学方式，培养学生分析问题和解决问题的能力.

　　在不等式链的教学设计中，通过几何表征和代数表征讲解不等式链可以使学习者更深入地理解其复杂的结构特征，并促进学生将该知识应用于几何领域，因为每种表征方式都为学生提供了独特的视角.

　　2.2 教学过程设计

　　⑴ 在复习基本不等式与切割线定理的基础上，教师引导学生进行小组合作探究建构不等式ab

　　当讲授不等式链这个内容时，学生需要理解不等式链涉及的四个平均数之间的复杂关系，学生的内在认知负荷较高.在这种情况下，建立新旧知识间的联系是降低学生认知负荷总量的前提，否则，认知负荷总量可能超过工作记忆的容量，阻碍学生学习.教师引导学生建构简单模型，使不等式链与基本不等式的知识联系起来，培养学生合作探究，数学建模的能力.

　　⑵以学生小组探究建构的不等式ab

　　教学内容上，对已得到的几何模型进行深入探究，避免由于引入新模型，增加学生额外的工作记忆负荷.呈现形式上，采用①②③④标识线段，改变以往利用大写字母标识线段的方式，避免在图形搜索过程中，学生的工作记忆系统需要保持的文字或符号信息过多，引起较大的外在认知负荷，降低学习效率.

　　⑶在得知线段①②数学表达式分别为ab、a+b2的情况下，教师引导学生探究线段③④的表达式.首先简化已有模型，只呈现与目标线段直接相关的内容，其余内容隐去.其次将已知线段的表达式标记在图形中，学生通过观察，利用射影定理可得出线段③的数学表达式为aba+b2.教师引导学生对aba+b2进行变形，并指出21a+1b为正数a、b的调和平均数，线段④的表达式a2+b22为正数a、b的平方平均数.

　　在已知线段①②表达式的基础上，欲求线段③④的数学表达式.学生已经了解原模型的形状，在计算线段③④的过程中，将原模型中的圆形、部分线段隐去，简化成三角形，以降低学生的外在认知负荷.此时，学生很容易发现三角形中蕴含的解决问题的信息，提高课堂教学的效率.

　　图10⑷在得出不等式链的基础上（图10），教师进行语言表述“基本不等式满足当且仅当a=b时，③=①=②=④.” 　　设计意图 通过简单的课件呈现辅助语言表述，可以避免屏幕上显示文本与语言表述的重复，否则，学生将在工作记忆中对相同内容进行两次处理.这种重复处理的过程可能中断工作记忆中有益的认知过程.利用基本不等式的典型特征类比不等式链，引导学生从代数角度进一步猜想并证明，培养学生分析问题、解决问题的能力.

　　3 “不等式链”教学设计中体现的设计策略

　　为降低学生的认知负荷，在二元均值不等式链教学设计中，体现了以下教学设计策略：

　　3.1 多元表征教学内容

　　在讲解某数学知识时，尝试以几何、代数、函数、向量、统计、方程等不同的形式进行处理.这体现了认知负荷理论的多元表征原则，即自然科学的大多数领域中，信息可以通过图形、表格、文本或公式等不同的表示形式来呈现，以增加相关认知负荷，有助于学生理解知识.

　　教师在进行教学设计时，要以多种方式表征同一知识点，使知识成为学习者思维导图中的一点，而不是单独的知识片段，帮助学生形成良好的知识体系.同时，将知识以不同的形式表达，可以使学生从不同角度认识知识，深入理解其内涵.

　　3.2 建立新旧知识的联系

　　在讲解某数学知识时，要设法将其与已有知识联系起来进行教学设计，以防止给学生施加过高的认知负荷.这体现出认知负荷理论的相邻性原则，即在时间或空间上呈现意义相邻的内容，以增加相关认知负荷，提高教学的有效性.

　　教师在进行教学设计处理教学内容时，要设法在学生已有知识的基础上架起通向新知的桥梁，达到知识的同化与顺应，以帮助学生形成良好的知识体系.

　　3.3 减少全新信息源的引入

　　教学设计中各信息源之间要具有联系，减少全新信息源的引入，避免认知负荷的提高.这体现了认知负荷理论的分散注意原则，即在进行教学设计时，要避免学习者将注意力分散在多个信息源上，减少学习者在心理上对不必要内容的整合，以降低外在认知负荷，提高学习效率.

　　教师在进行教学设计时，要避免过多地引入新问题，可以就一个问题由浅入深地进行探究，这样可以减少学生对新问题的再整合过程，降低外在认知负荷.

　　3.4 减少图形搜索过程

　　在进行几何图形相关的教学设计时，要减少字母的应用，尽量采用“符号标识+语言引导”的形式组织教学.这体现认知负荷理论的形式化原则，即当借助多媒体解释问题时，信息应以听觉材料辅助直观的视觉材料进行呈现，以降低外在认知负荷，提高课堂学习效率.

　　图12例如在不等式链的教学设计中，同一问题可以有多种呈现方式.图11，学生对线段（AD、DN等）的搜索时间是影响学生学习效率的一个重要因素.图形搜索过程中工作记忆系统需要保持文字或符号信息，从而引起较大的外在认知负荷.而图12的呈现方式，教师利用简单的言语表述就可以引导学生对四条线段进行计算.

　　3.5 简洁呈现教学内容

　　在对课件进行设计时，将无关内容隐去，简洁呈现，突出重点.例如在均值不等式链的教学设计中，将原模型简化为三角形进行讲解体现这一策略.这体现出认知负荷理论的相干性原则，即在借助多媒体解释内容时，应当包含较少的无关文本和声音，降低外在认知负荷，有利于学生理解教学内容.

　　在进行教学设计时，不相干的图片、声音或音乐等内容，都会增加学生的认知负荷，进而影响学生的学习.简单地说，在设计利用多媒体呈现教学内容时，简单的材料比复杂的修饰材料学习效果好.

　　3.6 注重语言引导

　　在教学过程中，注重语言的引导，减少课件中显示的文本内容，学生学习效果好.这体现了认知负荷理论的冗余性原则，即在借助多媒体呈现内容时，应避免屏幕显示文本与语言表述产生冗余效应，避免外在认知负荷的增加.

　　例如不等式链教学设计（图3），在复习切割线定理（分割、分行呈现）的基础上，以简单的图示呈现问题，教师用语言表述“同学们能利用切割线定理建构一个几何模型得出不等式ab 基于认知负荷理论，从教学内容的处理、教学过程的开展、教学课件的设计、师生语言交流等方面进行教学设计，以增加学生的相关认知负荷，并降低学生的外在认知负荷.教师在日常教学中，要全面考虑并设计教学各环节，应用多元表征教学内容、建立新旧知识的联系、减少全新信息源的引入、减少图形搜索的过程、简洁呈现教学内容、注重语言引导等策略进行教学设计，提高学生课堂学习效率，鼓励学生探索知识，培养学生的创造思维.

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