偏微分方程课堂实践教学应用

　　中图分类号：O14 文献识别码：A 文章编号：1001-828X（2016）016-000-02

　　数学知识是丰富的、数学思想是多彩的，数学中蕴含着丰富的数学思想方法，数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学解题的指导思想。而对于数学概念的实践性教学，将数学知识与现实世界建立关联，是推进大学生数学应用实践的有效途径。数学作为自然科学，其理论的产生是基于数学自身理论系统的发展。如数学建模思想的应用实践，将数学理论知识与具体的行业科学建立紧密联系，突出数学建模在学科专业性和应用广泛性中的作用，以解决现实问题。偏微分方程是高等数学中的重要内容，在课程教学中具有较强的实际应用前景。现代自然科学领域中的很多工程实践问题，其解决方法都由数学建模来进行描述，而偏微分方程的求解方法则具有广泛的应用。本文则是通过对偏微分方程的一些阐述来讲解偏微分方程在课堂实践中的教学应用.

　　一、高等数学实践性教学的现状

　　强调理论与实践的渗透一直是高等数学课堂实践性教学的主要方向，由于教学环境的局限，对于课程实践性内容的梳理多存在制约，尤其是理论讲解过多，而实践教学相对不足，导致学生对高等数学的论证感到繁琐而枯燥。偏微分方程数值解由于涉及较多的公式推导，学生学习积极性不够，而对于理工类学科专业，偏微分方程在实践应用中具有普遍性。因此，要从实践性教学环节入手，积极探索该课程与生产实践的关联度，加强对偏微分方程与实际应用的衔接，特别是实验教学环节的明确，要从学科前沿发展上，融入实际案例和问题，增强学生的学习兴趣，引导学生从数学推导中提升计算能力，增强科学思维能力，解决实际问题能力。

　　二、实践性教学的必要性研究

　　从国家对高等教育改革工作的发展纲要来看，坚持教育与现代社会生产的联系，特别是从人才培养模式上，着力从教学方法上来深化改革，强调知行合一，因地制宜的调整和优化课程实践教学环节，突出学科理论学习与实践课程的融合，增强学生的实践技能。理工类专业群在高等数学教学目标上，要结合自身专业设置实际，从数学基础知识与学科专业方向上，既要关注数学基础知识的讲授，还要从学生数学思维、计算思维、计算方法等方面，强调数学知识与工程应用的联系，特别是实践性教学环节，要注重对各种数值方法的求解，训练学生能够从具体方法求解中来培养动手能力。偏微分方程具有较强的理论性，对于理论知识的讲授，特别是稳定性分析、收敛性分析、误差估值分析等，涉及较多的公式推导，学生学习积极性差，通过对实践性教学环节的设置，使之具有形象性、直观性和动态性，提升学生解决数学实际问题的能力。

　　三、偏微分方程与实践性教学的应用探讨

　　1.注重偏微分方程与实际应用的衔接

　　从课程内容来看，偏微分方程在与生产实践联系上具有广泛性，但对于具体的数值求解方法来说，因介绍较少，而学生对知识背景认知不够。如对于线性常系数偏微分方程，在探讨其稳定性方面，由于，利用差商法来替换微商法，其中心格式的稳定性仍然不够。但可以将之改写为中心差分格式，由此来得到Lax-Friedrichs稳定性数值方程；从中可知，利用，可以实现偏微分方程的数值求解稳定性，同时对于双曲型方程也具有较高的计算准确性，便于将偏微分方程数学理论与生产实践相联系。

　　同样道理，在共轭方程求解中，对于，在实际生产中应用较广，作为二阶共轭方程，将表示为温度函数，表示为热传导系数，可以对热传导方程进行改写。从上述推导变换中，尽管数学公式本身没有变化，但与物理问题相融合后，其意义更加广泛。我们知道，从热传导过程来看，对于传导系数来说本身具有连续性，利用函数来表示更加准确，从热传导守恒性来看，以离散值求解方法来计算结果，与实际问题存在不符，但通过进行离散处理，可以获得。从中可知，学生在认识偏微分方程的求解疑难时，借助于对实际生产的背景介绍，从中来理解数学理论知识在实践中的应用，增强学生的学习热情，也提升了学生运用数学方法解决实际问题的能力。

　　2.强调实验教学的课时比重

　　在高等数学学习中，由于计算机的应用，可以利用偏微分方程来构建数学模型，增强偏微分方程在生产实践中的应用。从数学理论来看，偏微分方程本身实践性强，而在实验课程教学中的课时比例相对不足，特别是学生上机学习较少，影响学生对偏微分方程数值求解方法的掌握。以信息技术专业为例，在偏微分方程数值计算训练上，可以从Fortran95数值教学平台上来开放应用程序，结合不同的边界条件和初值，让学生从具体算法上来进行上机调试，分析存在的问题，并从实验报告分析中来强调知识的实践性。借助于数学软件教学，其目标在于：一是提升数学理论知识的可视性，特别是对于偏微分方程自身公式的推导来说，因繁琐而影响学生的学习热情，而直观的数值计算软件的应用，提升计算结果的直观性。二是从偏微分方程数值求解方法的多样性来看，既可以从差分方法中来选择不同的边界条件和初值，还可以从不同的初值和边界条件中来选择差分方法，不同的运算结果具有相应的规律性。如对于扩散方程，与之相关的边界条件主要有、、。对于该式中的不同变量的取值问题，可以从显格式、隐格式及其他格式上来进行运算，比较其结果，学生可以从中来探讨和分析偏微分扩散方程的收敛性、稳定性，以及截断误差变化；同时，可以根据调整不同变量的范围，如步长等，来对比差分格式中的误差控制；对于Richardson格式，虽精度高但实用性不强，不同格式的稳定性分析是其应用的基本前提。三是从学生动手实践中来增强解决实际问题的能力。由于偏微分方程在数值求解上面临较多的实际问题，特别是在实践性环节设置中，针对常见的步长问题、网格点问题，以及不同求解方法的误差等问题，需要在教师的指导下来进行综合对比和分析，提升数学模型对生产实践的影响。另外，从不同方法的求解合理性分析上，利用检验方法来促进学生数学思维的养成。

　　3.强调数学理论与科研前沿问题的融合

　　从偏微分方程数值求解教学内容来看，仅仅介绍相关的数值求解方法是不够的，还要从偏微分方程自身的理论价值，来阐释与生产实践的融合，特别是现代技术背景下，对于数学理论、数学思想、数学方法的研究，需要从科研前沿探讨中，比较不同解决方法的差异性和适用性。对于生产实践中的不同问题，教师在课程知识选择及具体方法的探讨中，要适当渗透前沿课题及主流方法，围绕学生学科实际，收集相关科研素材和资料，让学生能够从中体验到数学知识在解决实际问题中的价值，增强学生的科研精神、数学思维。教师在构建实践性教学课堂时，可以从数学模型的抽象与分析中，介入数学软件来构建实际问题，通过对偏微分方程不同求解方法的对比分析，来探讨其解决实际问题的能力。如对于有限元法的讲解，与实际生产相联系，来分析该方法的优势，并渗透Matlab软件，来构建具体的应用环境，增强学生对数学理论与生产实际的融合。

　　四、结语

　　与传统大学数学教育相比，利用实践性课堂教学不仅有助于激发大学生对数学的学习热情，还能从数学知识、数学概念、数学定义、数学逻辑推演及计算中，增强数学应用能力，开拓大学生的数学思维。正如李大潜院士所讲“数学思想有助于从追求数学体系的完善上来达到数学逻辑与数学应用的严谨性，从而将数学构建成新的应用空间”。通过对偏微分方程数值解的实践性教学环节的探析，来加强理论与实践的融合渗透，从不同行业来发挥数学知识的应用价值，让学生能够从中启发创新精神。

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