近世代数课程教学改革

　　中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.06.028

　　Teaching Reform of Modern Algebra Curriculum

　　NI Lan， CAI Jihua

　　（College of Science， Heilongjiang Institute of Science and Technology， Harbin， Heilongjiang 150027）

　　Abstract Modern Algebra Curriculum is one basis course of the mathematics major， playing a connecting role in Teaching. This paper discusses the necessity of teaching reform of modern algebra Curriculum by some aspects， and talks some experiences.

　　Key words Modern Algebra; teaching reform; mathematical thought and method; background knowledge

　　1 课程的重要意义

　　近世代数课程作为数学的一个重要分支是高等代数和解析几何的继续和提高，是数学专业的学生学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程的一门基础专业课程，同时也是计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课程。主要介绍的基本概念和基本理论是群、环、域，这些都有助于提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。同时蕴含的划分、等价、同态、同构、群、环、域等数学思想方法是研究和观察自然及社会时采用的最重要的数学方法之一。因此，这门课程对培养学生数学的抽象思维推理能力和提高学生的数学素养都有着很重要的积极作用。

　　2 课程教学中存在的问题

　　近世代数是一门抽象性很强的学科，是数学专业教学的一个难点，同学们普遍感觉学习这门课程很困难，这其中有多方面的原因。下面我们从数学思想方法、概念的理解和掌握，应用几方面谈谈近世代数课程教改的必要性。

　　（1）数学思想是指人们对数学理论和内容的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升的数学观点，数学思想的具体化形式是数学方法，其实两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看待问题。在教学的整体过程中，作为教师，我们在讲授基础知识和基本技能时，还应慢慢渗透相关的数学思想方法，加强对学生数学思想方法的培养活动。数学教材中的每一章节，体现了知识和思维的有机结合。由于在认知能力及思维发展有所限制，教师从事知识的单方面传授，学生注重数学知识的学习，都忽略了联结这些知识的观点和思想的方法。

　　（2）概念的背景介绍匮乏，概念抽象难以理解，仅仅背下来一些命题、性质和定理，并不意味着真正理解和掌握了知识。因为近世代数的理论系统是很多数学家根据实际中不同的集合和模型抽象创造出来的，所以系统内许多概念都是根据直接或间接刻画新的几何量和物理量的需要而产生的，但教材中并没有提到这些来源和背景。例如，天才数学家Galois通过深入研究一个方程能用根式求解所要满足的必备条件，提出了“Galois域”、“Galois群”和“Galois理论”，而近世代数教学过程中对这一类背景没有介绍。

　　（3）缺少概念历史发展的介绍，近世代数的有些内容比较抽象，大多内容可以从各种具体对象中抽象出共性，从而使其具有广泛的应用。学生会有疑问，近世代数是如何演化而来的？但是这些内容大都是课堂上很少讲到的内容。

　　（4）缺少与数学相关课程的必备联系，近世代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，代数系统大致分成初等代数学、高等代数学和抽象代数学三大部分。19世纪上半叶以前，初等代数学得到了发展，主要是研究某一方程〔组〕是否有解，若有如何求出所有的根〔包括近似根〕，以及根有什么性质等问题，都是侧重计算和分析能力的培养。高等代数学在初等代数的基础上进一步扩充了研究对象，许多新的概念被引进，许多新的量被定义，如最基本的集合、向量和向量空间等等，抽象代数学则是初等代数学和高等代数学的后继与提高。但是，很多学生都认为他们学的每门课程都是互相独立的，彼此之间是没有什么相关联系的。

　　（5）学生缺少自主学习能力，我们的学生在上大学之前，都是被动地接受知识，都是为了应付考试而学习知识。显然，在如今的社会形态下，被动接受知识的思想是要不得的。所以，在教学中我们要着重培养学生自主学习方面能力，同时也要着重培养学生发现问题和解决问题方面的能力。为学生在将来的工作和生活把握住机遇打下基础。

　　（6）只注重理论，忽视应用，近世代数的核心是其抽象的理论和广泛的应用，抽象的理论和广泛的应用是相互扶持的，但是近世代数的应用在教材中却不涉及。所以，学生会有疑问：近世代数有什么用处呢？

　　3 课程教学改革的几点设想

　　根据以上的探讨，同时结合近世代数课程的教学实际，提出以下几点教改设想：

　　（1）在教学中，教师要习惯挖掘数学概念和定理中蕴含的数学思想，在解决问题和数学推理时，要有意识地利用数学方法，进而有效地提高解题效率，还可以有效地提高意识方法的构成，使学生的思维能力得到加强。例如抽象代数的重要概念之一是同构映射，它的数学思想是两个代数系统之间有一个保持运算的双射，若两个代数系统同构，则它们将具有相同的代数性质。这种两个群运算结构之间相同的规律性，对研究数学问题起重要作用。类似通过对整数环的分析引入环的定义，通过对商群概念的分析引入剩余类环的概念。所以在近世代数教学中注重渗透这些数学思想方法无疑非常重要。 　　（2）通过典型例子理解概念，举一反三达到效果。例如：群论里有一个问题是n阶有限群的同构类型有多少个，围绕这个问题可以引出很多抽象的概念，比如元素的阶数，正规子群，商群的概念。

　　（3）注重概念的历史发展，当前数学教学改革的基本思路就是渗透数学精神和数学文化在数学发展史的介绍中。通过介绍数学概念产生的来龙去脉，在很大程度上可以提高学生对概念的理解能力。所以，在近世代数教学过程中通过调动学生存在的各种数学知识，列举多姿多彩的具体实例，从而揭示概念的本质特征，在具体和抽象之间架起一座座桥梁，让学生从被动变主动地接受诸如群、环、域这样的概念，促进学生学习知识的正迁移。

　　（4）注重概念的知识背景的引入，事实上，伽罗华运用群的思想解决了用根式求解代数方程的可能性，高斯研究二次型整数解讨论高斯整数环的某些问题时，受费马猜想问题的启发，德国数学家库默尔引入并研究了理想数的概念，这些知识背景的引入既能使学生了解概念的来源，也能使学生增加学习兴趣。

　　（5）加强与数学相关课程的联系，高等代数学中很多定义和定理经推广可以是近世代数学中相关的定义和定理内容。所以在讲授这些定义和定理时，要习惯让学生先回忆以前在高等代数中学过的类似的结论，使学生有意识采用联系的方法来接受这些定义和定理。

　　（6）培养学生发现问题和思考问题的能力，应注重加强学生自主学习能力。如要求学生对教学内容要习惯课前预习、课后复习和归纳总结。课前预习可以让学生尽早对新教学内容有整体方面的认识，对新教学内容的重点和难点做到心中有数，从而提高课堂听课效率。课后复习是为了让学生能更好地巩固学习内容，加强学生理解知识的能力，是学习过程中必不可缺的一环。及时的归纳总结有助于学生透彻理解所学知识。

　　（7）注重知识的应用，如组合群论在签名体制中的应用、同余方程组、尺规作图难题等。同时该学科在计算机科学、信息科学、近代物理与近代化学等方面也有广泛的应用。因此，教师要习惯在讲授课程内容时适当地引入一些近世代数的应用，一方面可使学生感受到理论的巨大应用价值，另一方面，也可以使学生感到学习该课程是有应用价值的，可以大大提高学生的学习积极性。

　　以上是对近世代数课程教学改革的一些设想，近世代数课程改革任务是连续不断的，需要我们常常对课程系统自身的思想方法进行研究，对学生的特点进行研究，对数学知识的相关联系进行研究等等。

　　 基金项目：黑龙江省教育科学规划课题（GBB1213013）

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