常微分方程课程教学改革初探

　　中图分类号：G642.3 文献标识码：A 文章编号：1002-4107（2014）11-0022-02

　　常微分方程是基础数学的一个重要组成部分，常微分方程在整个数学大厦中占据着重要位置。自然科学（物理、化学、生物及天文）中的许多一般规律，用常微分方程的语言来表达最为自然。因此，常微分方程是探索实际问题的重要工具。但是该课程在目前的教学中还存在一些问题：（1）本课程包含一些冗长烦琐的计算公式和定理推导，而教学课时数普遍较少，因此在使用传统教学方法和手段授课时，使得有些内容不能深入细致地讲解，导致教学效果不佳。（2）受传统教学模式的影响，忽略了教学过程中师生的交流和学习效果的验收，使学生陷入思维的惰性中，限制了学生的批判性、创造性思维能力。因此，如何改革传统的教学模式，用新的思路去改进现有教学方法，以培养学生的创新能力，对作为基础课程的常微分方程显得尤为重要。本文从教学内容、教学方法和教学手段等方面探讨常微分方程课程的教学改革。

　　一、更新教学内容

　　（一）合理选配教科书和参考书

　　关于常微分方程的教材有很多，如何合理地选配教科书和参考书是搞好教学改革的关键一环。事实上，给学生指定一些参考书，让他们在课余时间对照课堂上教师讲授的内容进行学习，有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解，从而让他们从单纯的课堂中走出来。对于不同层次的学生，由于培养目标和教学计划的差异而有所区分，因此应根据学生具体情况的不同选取教材。

　　对于基础较好的学生，可选择理论内容较为丰富的教材[1-2]。对于此类学生，他们不但要掌握一些基本的计算方法和推导公式，如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式及线性微分方程组的求解公式等，还要知道这些公式、方法的具体来源，推导过程。这就需要教师在教授过程中注重这些公式、原理的理论分析与证明，因此对教材的选取，应以理论侧重为主。对于特别优秀的学生，可直接选用国外原版教材[3]，让学生在学习之余提高阅读外文文献的能力。对于基础一般的学生来说，侧重于使之掌握相关公式的应用，对于相关理论的含义，只需了解其内容并能熟练应用即可。在教学上应侧重使学生领会公式的推导原理和方法，熟练掌握公式的具体运用，淡化理论证明为主。因此，可选用理论与计算兼而有之，侧重于计算为主的教材[4]。

　　（二）精心选取教学内容

　　像常微分方程这样的基础课，其教学内容比较经典成熟，但仍应该根据科学和社会发展的需要，用现代数学的思想、观点为指导，重新审视教学内容，与时俱进地吐故纳新，加入一些最新的前沿性知识。例如，近几十年来动力系统及其非线性科学得到了迅猛发展，极大地促进了力学、物理、生物、地理等领域的发展，如果能将这方面的新理论新方法同常微分方程中的一些知识结合起来进行讲授，将会起到很好的效果。

　　对于具体的教学内容还应在选定教材后，根据学时等的安排合理选择教学内容。当学时较少时，可适当删减一些复杂且将来会随着深造而进一步学习的内容，如文献[1]中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节，以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较充裕的情况下，可增加一些当今微分方程中的热点问题。例如，加强Picard逼近法及解的存在唯一性证明，将它们同运用等价积分方程建立迭代推导关系同后面动力系统思想联系起来，不但给出了存在唯一性的相关证明，更对当今动力系统中的一些思想和观点给出一定的介绍和阐释[5]。这样，不但可以让学生学到的知识具有前瞻性，而且还可以帮助他们开阔思维，拓展视野，培养兴趣，增加学习积极性。

　　二、改进教学方法

　　（一）传统教学法与现代教学法相结合

　　教学方法一般是指与一定教学目标和任务相关的具体操作程序，是完成教学任务所使用的方法。我们可以把现行的教学方法大体分为传统教法和现代教法。站在形势发展需要的角度看，传统教法有其弊端：教师的主要精力在于讲授教材，学生的学习是被动的、消极的。可是它毕竟是在人类社会发展的历史中流传下来的，到如今仍有它合理性的一面，有的仍是教师教学中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出现，是随着社会发展的需要、社会的变革产生的，是积极的，它与传统教法的出发点不同，是从灌输知识为主转变到启发学习为主。在教学观念上倡导适应个别差异、因材施教，强调把教学的重心从怎么“教”转到怎么“学”上。若能结合这两种方法，在教学实践的应用中做全面的、客观的分析，深入研究，总结效果，会大大提高教学效果。

　　在常微分方程课程的讲授中，有许多公式定理需要推导。若教师只是灌输式地教学，学生只是被动地接受，将会逐渐失去对这门课程的兴趣和积极性。因此，在讲授课程的同时，可将启发式、对话式教学引入课堂。例如，在讲完一阶微分方程的初等解法后，我们可以引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的关系，从而引出微分方程中的“化归思想”。在教学过程中将讲授式与启发式教学结合起来，不但能增加学生的学习兴趣，让他们在教师的引导和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构，更能让他们较为全面地掌握系统的理论知识。

　　（二）注重考核方式的多元化

　　恰当、正确的考核方式可以及时反映教师的教学效果，因此，制定适当的考核方式是了解学生对所学知识掌握情况的有效手段之一。对此，我们将考核分成三个部分：学习态度考核、随机口试考核、期末考试[6]。

　　学习态度考核是由教师和课代表平时详细记录每一个学生的出勤、上课表现、作业完成情况等方面，学期末由课代表和主讲教师共同评定成绩。随机口试考核则是由教师事先准备一系列的问题，在课堂或课后由学生随机抽取一道题目作答。这种方式可以引导学生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教师能直接掌握学生对知识细节的熟悉度以及学生的思维能力和综合运用知识的能力。期末考试以闭卷的方式进行，其内容包含本课程的主要理论知识，应突出考查学生对知识的理解程度和运用能力。在试题的选定过程中，应以考查学生对基本概念、基本理论的理解度以及对知识的综合运用度为基本原则。通过这三方面的考核，不但使教师较全面地把握学生对所学知识的掌握程度，也能增进学生与教师之间的学习和交流。 　　三、运用多样化的教学手段

　　（一）引入多媒体教学

　　使用多媒体教学是一种新型的教学模式，需要在教学过程中不断总结与交流，努力将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来。实践证明：两者结合得好坏是新型教学模式成败的关键，传统教学模式讲得好的教师往往使用现代教学模式也更加成功，原因在于保持了传统教学模式的优势[7]。随着计算机技术的发展，多媒体教学具有传统教学模式无法取代的优势。

　　图文并茂，从直观上展示公式、定理的意义，并激发学生学习微分方程的兴趣。多媒体教学利用图像和图形的结合，能够给学生更多感官上的刺激。变抽象的定理内容为具体，这就使学生更容易理解和掌握教学内容。节省课堂时间，提高教学效率。常微分方程课程涉及大量复杂烦琐的公式计算和定理的推导，如果只使用黑板加粉笔的传统教学模式，将在板书上花费过多的时间和精力。若能合理地运用多媒体教学，把需要的教学内容制作成简洁、生动的课件，并直接在课堂上播放，便能大大减少教师花在板书上的时间，使教学内容变得紧凑而有条理。

　　（二） 充分利用网络资源

　　由于课堂教学在时间上的限制，学生无法完全掌握在课堂上所学的知识。对此，一方面教师可以利用课余时间对学生的课程进行辅导和讲解。在答疑过程中，要注意引导学生对所学内容进行归纳总结，进一步梳理重、难点，提炼出自己的想法和观点，这样才能较好地发挥答疑的作用。另一方面还可充分利用网络资源。如将课件上传到校园网上供学生自学；通过QQ或电子邮件等网络工具，这便打破了学生在学习时间上的限制，真正实现了教学相长，同时调动了学生学习的积极性，弥补了课堂教学的不足，进而提高教学质量。

　　在教学中应根据课时等因素合理安排教学内容，注意避简就难，突出解决重点、难点。授课时不拘泥于教材内容的排序，注重对各知识点进行重组和精炼。注重讨论式教学、启发式教学。充分利用网络资源，引导学生进行自主式、探究式学习。针对学生平时的考核，了解学生对所学知识的掌握情况，进而不断改进和提高教学方法和教学手段，认真总结教学经验，从而逐步提高该课程的教学质量和教学水平。

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