复合函数求导模版式教学尝试

　　在高等数学的知识体系中，微积分是一个重要的模块，它的系统性主要表现在各个部分的知识的相互联系、不可分割。其中复合函数求导是这个模块中的重点内容之一，是高等数学学习中比较关键的部分，也一直是学生学习微积分中的一大难点，它掌握的好坏直接影响到高等数学的学习。如何在有限的课堂教学时间内让学生快速、准确地掌握求导方法和积分方法呢？我受两个重要极限的启发，在复合函数求导的教学中作了一些尝试――模板式教学。

　　1 模板式教学

　　“模板”在新华字典中的解释为：浇灌混凝土用的模型板，一般用木料制成。不过笔者认为这里所说的模板应该是指一种固定程序模式，在计算机软件中十分常见，在软件中又称为模版。如常用的工具软件Word、Powerpoint等都具有这项功能，通过直接调用设计好的格式，可以生成相应的文档或幻灯片版式，为人们的工作带来了极大的方便。现在“模板”的概念已经广泛应用于分子生物学、遗传学、网站等领域。

　　模板式教学就是让学生在一定的基础上，利用一些固定的套路来学习和掌握知识和技能的一种教学方法。比如说在乒乓球战术中最简单的战术运用：发球抢攻。模板教学对于学生来说并不陌生，事实上学生每次的数学课都在潜移默化地进行着模版式训练，老师所讲解的例题，其解答格式就是一种模版，学生在练习的时候自然而然的遵循着老师的格式，然后掌握技能。不过这是潜在的模版，也有明确提出来的模版，比如，两个重要极限，在具体应用时就形成了一个模版：

　　■■=1→■■=1

　　在这个模版中，只要把“□”中的形式写出来保持一致，并且让“□”趋于0，就可以得到相应的结果1。在具体操作中，只要按照模版去凑相应的式子形式，就能解决问题。模版好记，又有启发性，非常便于学生，尤其是初学者学习掌握。

　　2 复合函数求导过程中容易出现的问题

　　复合函数求导在整个求导运算中以及在解决一些现实问题上都处于重要的地位，能够熟练地掌握和应用，是衡量一个学生高等数学的学习质量的标志之一。然而，复合函数求导对于学生来说是既不容易掌握也极容易出错，因此弄清学生难以掌握的具体原因，是突破难点的关键。笔者从多年的教学经验中，总结了学生难以掌握复合函数求导的原因。

　　学生对复合函数求导难以掌握的原因主要有几个方面：①复合函数求导所涉及的函数关系比较复杂而且多变；②复合函数的概念前后交错；③复合函数的中间变量不容易准确的设出，即使能够设出，在计算的过程中也往往容易出现丢项落项的现象。具体体现如下：

　　一是求导不彻底，如：（sin32x）′=3sin22xcos2x；

　　二是求导顺序分不清，如：（sin32x）′=3cos22x；

　　三是书写不合逻辑，如：（sin32x）′=3sin22x（sin2x）′（2x）′。

　　3 模板式教学在复合函数求导中的实践

　　根据复合函数求导法则[f（φ（x））]′=f′[（φ（x）]?φ′（x），要准确应用法则，必须：①正确分解函数的复合过程；②准确选择函数的求导公式；③正确理解复合函数求导法则。而这几条有一条解决不好，就容易出现前面提到过的问题。为了一次性解决上述问题，我在讲解完复合函数的求导法则后，用最入门级的例子对法则做了具体化的转化，例如：

　　求函数y=e■的导数

　　y=e■是由y=eu，u=x3复合而成，所以

　　■

　　从而有（e■）′=e■?□′

　　于是，复合函数求导法则就具体化到一个基本初等函数的求导公式身上，记住了基本初等函数的求导公式也就记住了复合函数求导法则。我把每一个基本初等函数的求导公式都做这样的改变，如：把公式

　　（sinx）′=cosx改成（sin□）′=cos□?□′

　　改动后的公式中要求“□”中的式子形式要相同。这样，每次只使用一个基本初等函数的求导公式，求导时只需记住基本初等函数的求导公式即可。我把这个称为求导公式复合化。这样可以降低寻求中间变量的难度，尤其是复合层次较多的时候。

　　例1 求函数y=（2x+1）5的导数

　　解：y′=■

　　=5（2x+1）4（2x+1）′=10（2x+1）4

　　例2 求函数y=Insinx的导数

　　解：y′=

　　■

　　=■cosx=cotx

　　例3 求函数y=e■的导数

　　解：y′=■

　　■

　　■

　　■

　　=e■■

　　在求导过程中，画框是一个重要环节，画框使函数简单化，容易找准要使用的求导公式，也省去了设中间变量的麻烦，尤其是函数复合层次较多的时候；第二个环节是写出所用求导公式的复合化结构，这样可以加强复合函数求导法则的认识，同时还能强化公式的记忆。

　　4 结语

　　通过在不同班级的教学实践，以画框的方式求导，这样做下来的情况比以往的学生的学习效果要好，尤其是对基础相对较弱抽象能力较差的学生来说效果更明显。这部分学生习惯于按某种模式照搬，对于灵活性稍强的内容就倍感吃力，这时我就反其道而行之，把本来灵活的东西找出其规律后进行相对的固定以适应他们的思维习惯，让这部分同学掌握起来容易一些，使得在求导教学中的难点能顺利的突破，并很好地克服了前文中提到的几种常见毛病，让学生对复合函数求导法则能较好的掌握和运用，从而达到教学目的。

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