湖南省长沙市重点高中学生就读模式的调查研究

　　一、问题提出―同一平面的两条直线会重合吗

　　“同一平面内的两条直线不是平行就是相交”这句话对吗？在教学研讨活动中，老师们对此各执己见。综合不同的观点，问题焦点集中于“同一平面的两条直线的位置关系是否包含重合”。主要的观点有三个：一是“无视重合”论。认为两条直线重合后就是一条直线。如果重合后仍算两条直线，那么“经过两点就可以画两条（甚至更多）直线”，这与“两点定一线”是相悖的。所以，重合后就是一条直线，若有两条直线，就不包括重合。因此，同一平面的两条直线，只有相交和平行两种关系。二是“重合特殊”论。持这种观点的老师，从教材结语“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线” 出发（人教版数学四年级上册56页），认为同一平面的两条直线不是平行就是相交。而关于“重合”，一部分老师认为这是特殊的平行，即两条直线之间的距离为0的平行;另一部分老师认为这是特殊的相交，即两条直线的交角为0度或180度。三是“重合单列”论。认为重合就和相交、平行一样，是同一平面内两条直线的一种正常位置关系。同一平面内两条直线的位置关系并列为三种：相交、平行和重合。

　　二、问题辨析―同一平面两条直线可以重合

　　众说纷纭中，我认为：同一平面内两条直线的位置关系应该包括“重合”。

　　1.操作验证

　　在教学同一平面内两条直线的位置关系时，很多老师都会从操作引入。如用两根小棒在桌面上摆出不同的位置关系;或用黑、灰两条线段，表示两条直线，然后在纸上画出不同的位置关系。无论是实物操作，还是画图，都有很多同学把两条线段（表示直线）摆（或画）在一起（如图1左），或是把它们摆（画）在同一直线上（如图1右）。这不都表示两条直线的重合关系吗？

　　2.经验迁移

　　“无视重合”论的老师认为，两条直线重合就成一条直线了，所以，提到两条直线，就不包括重合的关系。果真“合二”就“为一”了吗？不是的。两个物体虽然重合了，但不能因为位置的单一性而否定同一位置上事物的多样性。这与“两点定一线”也是不相违背的，因为“两点定一线”研究的是单一的位置，而重合是指“两个或两个以上的几何图形占有同一个空间”。两条直线既然已经前提存在，可能重合就应该是一种正常的位置关系。

　　3.集合分类

　　从实践和经验层面看，重合都是确实存在的，但可否列为特殊的平行或相交呢？这要联系到事物的分类，根据同一平面两条直线的交点个数，我们可以分为三种情况： 0、1和无限。当交点为0时，两条直线平行;当交点是1时，两条直线相交;当交点为无限时，两条直线重合。类似的三分法，在小学阶段也不少见。因此，重合与平行、相交应该是相对的，并不是包含关系。

　　综上，同一平面内两条直线的位置关系有三种：重合、相交、平行。

　　三、教学处理

　　1.理解教材意图，突出教学重点

　　在众多版本的小学数学教材中，都没有明确涉及两条直线的重合关系，甚至在初中、高中也鲜有涉及。在教学中，重合作为一种特殊的位置关系，没有太多的研究价值，因此在教学中一般不作研究。但这并不是否定“重合”的存在。在教学中，我们可以对重合关系不作过多渲染，而把重点放在平行和相交（垂直）的认识上。但如果学生提出，我们应该作出肯定的回应。

　　2.正视重合关系，促进迁移比较

　　重合，作为同一平面内两条直线的一种位置关系，在教学中往往不可避免。我们要正视这种关系，对学生给予恰当的引导。尤其是重合关系在小学阶段有许多类似的迁移引用，因此，认识两条直线的重合关系，再迁移比较，可以为学习同类知识作铺垫。如学生提出并认识了重合关系后，可引导学生思考：以前的学习中，哪里有过类似的重合关系？通过联系比较，学生不仅认识了重合，还加深了对相关知识的理解。

　　四、教学尝试

　　（1）组织学生动手操作：用两根小棒表示直线，在桌面上摆出不同的位置，然后用图表示出来。

　　（2）学生汇报，对比整理：学生汇报操作结果，教师引导学生对比，整理并列出常见位置关系图：（如图2）

　　（3）引导学生分类，认识重合、相交和平行。

　　师：能把这几种情况进行分类吗？

　　生1：可分成两类：一种是有交叉的，还有一种是没有交叉的。（如图3）

　　师：有不同意见吗？

　　生2：我觉得①和⑦也是交叉的，因为这些线段表示的是直线，可以无限延长，延长以后它们就交叉了。（教师根据学生回答，调整分类图如图4）

　　生3：我觉得⑥也会交叉。

　　生4：不是交叉，⑥的两条线段延长后会重合到一起。还有⑧也是这样的。

　　师：也就是说，（调整分类图如图5）要这样分类？

　　生4：是的。

　　师：⑥和⑧是交叉吗？

　　生5：不是，交叉时，中间只有一个点，而⑥和⑧是完全重合在一起。

　　师：哦，是的，这两条直线重合在一起了，就像我们认识时间的时候―

　　生6：12点时，时针与分针重合。

　　师：还有，我们在量线段长度的时候，直尺的边要与线段―

　　生7：对齐，哦，是重合。

　　师：对的，同一平面的两条直线，像⑥和⑧这样，两条直线重合在一起了，我们把这种位置关系叫做重合;而像①②⑤⑦这样，我们把这种位置关系叫作相交，交叉的一点叫作交点;像③和④这样，不相交的两条直线叫作平行线。因此，在同一平面内，两条直线就可能是―

　　生：重合、相交、平行。

　　……

　　以上教学充分结合学生的操作经验和已有知识，条理清晰又易于理解，学生学得自然而深刻，浅显而易懂。避免了模棱两可、似是而非的认识，又与前面所学连成一体，还可为后面学习奠基，更能体现数学学习的连贯性、一致性。

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