抽象函数的“合情推理”策略

【问题引入】对于任意的x∈N*都有f（x）∈N*，且f（x）满足：f（n+1）>f（n），f（f（n））=3n，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=（ ）

A. 61 B. 62 C. 63 D. 64

【思维分析】通过题中给出的两个条件：f（n+1）>f（n）和f（f（n））=3n，我们分析其中能得到f（x）的值的是第二个，∵x∈N*都有f（x）∈N*，我们不妨假设一下f（1）：若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与已知显然矛盾；若f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，符合.

若f（1）=m（m≥3），则f（f（1））=f（m）=3，这与f（n+1）>f（n）矛盾，从而得出f（1）=2. ∵ f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3，f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，问题产生了，上面的推导过程中，从f（3）直接过渡到了f（6），那么f（4）和f（5）怎么处理？我们再读一遍题目，就会发现：f（x）∈N*和f（n+1）>f（n）这两个条件还没有利用充分.细心考虑这两个条件，其实这里隐藏了一个非常重要的关系：“一一对应”关系！

这时候由已经得到的f（3）=6和f（6）=9，找到f（4）=7，f（5）=8，从而进一步推出：f（f（4））=f（7）=12，f（f（5））=f（8）=15.到这里问题就完美解决了.

【详细解答】∵x∈N*都有f（x）∈N*，我们不妨假

设一下f（1）：若f（1）=1，则f（f（1））=f（1）=3，与已知显然矛盾；若f（1）=2，则f（f（1））=f（2）=3，符合；若f（1）=m（m≥3），则f（f（1））=f（m）=3，这与f（n+1）>f（n）矛盾，从而得出f（1）=2.

∵ f（1）=2，f（f（1））=f（2）=3，f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，又f（x）∈N*和f（n+1）>f（n），则f（4）=7，f（5）=8，f（f（4））=f（7）=12，f（f（5））=f（8）=15， ∴ f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=62，故选B.

【总结反思】在解决这道题的时候，我们首先用了条件解读中的“先猜后算”，得出了f（1）的取值，但最关键的一步还是通过条件发现了从f（3）到f（6）的一一对应关系.同时我们还应该注意到在做复合函数的时候要巧妙运用“合情推理”和来回地套用f（x）.

【变式延伸】对于任意的x∈N*都有f（x）∈N*，且f（x）满足：f（n+1）>f（n），f（f（n））=3n，则f（3n）的解析式为 .

【简析】令an=f（3n），则有f（an）=f（f（3n））=3·3n，即f（an）=3n+1，又an+1=f（3n+1），而f（3n+1）=f（f（an））=3an，∴f（3n+1）=3f（3n），∴ f（3n）是一个首项为6，公比为3的等比数列，则f（3n）=2·3n.

【跟踪练习】函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D ，当x1

【简析】由f（）=？圯f（）=f（1），又f（1-x）+f（x）=1，令x=1，得f（1）=1，∴f（）=. 令x=，则f（）+f（）=1？圯f（）=，又∵f（x）在D上为非减函数， ∴x∈[，]时，f（x）=，又f（）=f（），而∈[，]，∴f（）=f（）=·=，∴f（）+f（）=.

（作者单位：湖南省安仁一中）