自然生成的课堂方法

　众所周知，如果三角形ABC的三顶点为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），那么三角形ABC的面积　　S=■×x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的绝对值。 （1）　　随着高考数学（如江苏卷、福建卷）和复旦大学自主招生考试涉及或出现了行列式考题，行列式理所当然地被作为中学数学拓展性模块中的重要内容，公式（1）便成为研究性学习教学中的“美味佳肴”。数学新课标下的知识教学，十分注重“恰当预设，自然生成”的理念，我们运用这一教学理念，在高三数学研究性学习中，组织学生对公式（1）的发生、形成、发展、应用作了一个系统的探讨，为数学研究性学习教学中优化选题和实施“恰当预设，自然生成”的生态、高效课堂理念抛砖引玉。　　一、分割思想作预设，三角面积妙生成　　1.教师预设　　教师展示图1，先开门见山地提出问题：如何用三角形三顶点的坐标表示三角形的面积？又承上启下地指出初中研究面积问题的重要方法有面积分割转化化归法，要求学生结合上一阶段研究性学习课中所学过的行列式的概念和性质，探求公式（1）的来龙去脉。　　2.学生生成　　教师通过面积分割思想、行列式概念和性质进行铺垫式预设。学生心领神会，纷纷画出图2，发现了梯形与三角形的组合生成关系，于是探究水到渠成，自然生成如下——　　三角形ABC的有向面积=ABB′A′面积+BCC′B′面积-ACC′A′面积　　=■（y1+y2）（x2-x1）+■（y2+y3）（x3-x2）-■（y1+y3）×（x3-x1）　　=■[（y1+y2）（x2-x1）+（y2+y3）（x3-x2）-（y1+y3）（x3-x1）]　　=-■[x1y2-x2y1+x2y3-x3y2-（x1y3-x3y1）]　　=-■x1 y1x2 y2 + x2 y2x3 y3 - x1 y1x3 y3　　= -■×x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1。　　从而得到公式（1）。　　二、结构审美作预设，新颖证法自生成　　1.教师预设　　教师对学生的上述探究过程进行点评后，引领学生从美学的角度欣赏公式（1）的结构美，从而巧妙地引导学生将公式（1）的结构与过两定点的行列式型直线方程式　　x y 1x1 y1 1x2 y2 1=0　　的结构进行对比，引发学生探讨公式（1）新证法的美妙念头。　　2.学生生成　　在教师的结构审美预设下，学生由两公式结构相似性进行类比联想，用三角形面积“原生态性”公式——“二分之一底乘高”，结合解析几何中两点间距离、点到直线距离公式，使其新的证法油然而生。　　证明：S=■AB·hc，又AB=■，直线AB的方程为x y 1x1 y1 1x2 y2 1=0，　　所以点C到AB的距离，即△ABC中AB边上的高　　■的绝对值　　=■的绝对值。　　又AB=■，把它们代入S=■AB·hc，得公式（1）。　　三、相关联想作预设，联姻推论巧生成　　1.教师预设　　三角形三顶点的坐标即为三角形三条边所在直线的交点坐标，那么我们自然会联想已知三角形三边所在直线方程，怎样表示三角形面积？　　2.学生生成　　学生根据教师的预设“三角形三顶点的坐标即为三角形三条边所在直线的交点坐标”为思维起点，设三角形三边所在直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，l3：a3x+b3y+c3=0，解方程组得其三交点坐标（为ai，bi，ci（i=1，2，3）的表达式），并借助行列式代数余子式概念对三交点坐标进行简化处理，然后代入公式（1）得到探究结果：　　推论 设l1∶a1x+b1y+c1=0，l2∶a2x+b2y+c2=0，l3∶a3x+b3y+c3=0，则l1，l2，l3所围成的三角形面积为　　S=■的绝对值 （2）　　其中？驻=a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3，而？驻1，？驻2，？驻3分别为c1，c2，c3的代数余子式。　　学生的具体探究过程如下：联解l2，l3方程，得：x1=A1 /？驻1，y1=B1 /？驻1（A1，B1为a1，b1的代数余子式），即得l2，l3的交点（A1 /？驻1，B1 /？驻1），亦即三角形的一个顶点坐标，同理求得三角形的另外两个顶点坐标（A2 /？驻2，B2 /？驻2），（A3 /？驻3，B3 /？驻3），代入三角形面积公式得：　　S=■A1 /？驻1 B1 /？驻1 1A2 /？驻2 B2 /？驻2 1A3 /？驻3 B3 /？驻3 1绝对值　　=■A1 B1 ？驻1A2 B2 ？驻2A3 B3 ？驻3绝对值。　　事实上，A1 B1 ？驻1A2 B2 ？驻2A3 B3 ？驻3=？驻2，于是得S=■绝对值。　　这里若三线共点时，？驻=0；若两线平行时，？驻1，？驻2，？驻3中一个为0，故三角形面积不存在。　　学生在探究过程中用运动变换的观点，审视发现得到了两个重要的“副产品”：　　结论1 三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）共线的条件是　　x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1=0。 （3）　　结论2 三线l1∶a1x+b1y+c1=0，l2∶a2x+b2y+c2=0，l3∶a3x+b3y+c3=0共点的条件是　　a1 b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3=0。 （4）　　四、类比拓展作预设，公式推广即生成　　1.教师预设　　公式（1）的形式显然难于向多边形推广，将它按第三列展开得　　■■=■x1 y1x2 y2 + x2 y2x3 y3 + x3 y3x1 y1　　=■x1 x2y1 y2 + x2 x3y2 y3 + x3 x1y3 y1。

　注意到行列式中x1，x2，x3，x1与y1，y2，y3，y1的排列，上式中三个二阶行列式与图2中的△ A1 A2 O，△ A2 A3 O，△ A3 A1 O的关系，从特殊到一般，循此向多边形推广。　　2.学生生成　　学生心领神会，运用类比联想和特殊到一般的思想方法，猜想得出结论：　　在平面直角坐标系中，以点A1 （x1 ，y1），A2 （x2 ，y2），…An （xn ，yn）为顶点的n边形面积公式为　　■=■■x1 x2y1 y2 + x2 x3y2 y3 +…+ xn-1 xnyn-1 yn +xn x1yn y1■。 （5）　　接着学生从考察任意△O Ai Ai+1 （i=1，2，3，…，n）的面积入手，运用数学归纳法原理证明结论（5）。　　证明：由■xi xi+1yi yi+1=■xi yixi+1 yi+1　　=■0 0 1xi yi 1yi+1 yi+1 1=■ （i=1，2，3，…，n），　　可知上列公式的每一项实际上是以O， Ai ，Ai +1 为顶点的三角形的有向面积。于是用数学归纳法对公式（5）证明如下：　　当n=3时，如图3，不论O在三角形内或三角形外都容易验证　　■=■+■+■　　=■x1 x2y1 y2 + x2 x3y2 y3 + x3 x1y3 y1，　　公式（5）成立。　　设当n=k（k≥3，k∈N*）时公式（5）成立，则　　■=■+■（这里指有向面积）　　=■x1 x2y1 y2+x2 x3y2 y3+…+xk-1 xkyk-1 yk+xk x1yk y1　　+■xk xk+1yk yk+1+xk+1 x1yk+1 y1+x1 xky1 yk　　=■x1 x2y1 y2+ …+xk-1 xkyk-1 yk+xk xk+1yk yk+1+xk+1 x1yk+1 y1　　即n=k+1时公式（5）成立。因此公式（5）得证。　　公式（5）不仅适用于凸多边形，也适用于凹多边形。　　五、化归方法作预设，应用范围广生成　　1.教师预设　　教师对学生公式（5）的探究与证明给予了高度评价，接着指出，公式（1）～（5）各是一类问题的数学模型，运用它们可以解决哪些典型的数学问题？并且给出下列三个题组，请学生探讨求解。　　题组Ⅰ：　　（a）已知A、B、C是平面上的任意三个整点（坐标为整数），求证：△ABC不是正三角形。　　（b）如果M是椭圆■+■=1（a>b>0）上在第一象限的点，A（a，0）与B（b，0）为椭圆两顶点，O为坐标原点，试求四边形MAOB面积S的最大值。　　题组Ⅱ：　　（a）设三角形三边方程：3x-4y+4a=0，2x-3y+4a=0，5x-y+a=0，求三角形面积。　　（b）过双曲线上任一点P的切线与两渐近线交于A，B两点，双曲线中心为O，求证：△OAB面积为定值。　　题组Ⅲ：　　（a）（2008年江西卷）已知抛物线y=x2和三个点M（x0，y0），P（0，y0），N（-x0，y0）（y0≠■，y0>0），过点M的一条直线交抛物线于A，B两点，直线AP，BP交抛物线于E，F，求证：E，N，F三点共线。　　（b）已知三个圆两两相交，证明：所得到的三条公共弦所在直线或者相交于一点，或者两两平行。　　2.学生生成　　学生由公式（1）～（5）的生成探求与内涵揭示过程，自然发现运用它们可以解决与多边形面积、三点共线、三线共点有关的问题，于是运用模型化归方法、自主探究，合作交流得到三个题组中每个问题的解答如下：　　题组Ⅰ-（a）证明：　　（反证法）假定三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）组成三角形。其中xi，yi（i=1，2，3）均为整数，则由公式（1）得三角形ABC的面积为　　S=■x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1的绝对值，其运算的结果必为有理数。　　另一方面，正三角形的面积又为S=■ AB2　　=■[（x2-x1）2+（y2-y1）2]，运算的结果必为无理数。　　这一矛盾说明△ABC不是正三角形。　　题组Ⅰ-（b）解答：　　设点M（acosθ，bsinθ），则由公式（5）得四边形MAOB的面积　　S=■0 a0 0+a acosθ0 bsinθ+acosθ 0bsinθ b+0 0b 0　　=■ab（sinθ+cosθ）=■sin（θ+■）。　　当θ=■时，Smax=■ab。　　题组Ⅱ-（a）解答：　　由公式（2）得Δ=3 - 4 4 a2 - 3 4 a5 -1 a=-17a，　　Δ1=2 - 35 -1=13，Δ2=-3 - 45 - 1=-17，Δ3=3 - 42 - 3　　=-1，　　因此，S=■×■=■a2。　　题组Ⅱ-（b）证明：　　设双曲线标准方程为■-■=1（a>0，b>0），其切点为（x0，y0），则其渐近线为■+■=0，■-■=0，切线方程为■x-■y=1。由公式（2）得　　Δ=■ ■ 0■ -■ 0■ -■ -1=-■。　　类似地，有Δ1=■，Δ2=■，Δ3=■，　　因此S=■×■=ab，即△OAB面积为定值。　　题组Ⅲ-（a）证明：　　设A（x1，■），B（x2，■），E（x3，■），F（x4，■）。　　由A，M，B共线，得x1 ■ 1x2 ■ 1x0 y0 1=0。 ①　　由A，P，E共线，得x1 ■ 1x3 ■ 10 y0 1=0。 ②

　由B，P，F共线，得x1 ■ 1x4 ■ 10 y0 1=0。 ③　　从以上的表达可以看出，在②中把x1用x3表示，在③中把x2用x4表示，然后代入①中即把x1，x2消去，得到x3，x4，x0，y0的关系式，便可以得证了。　　由②得x3 ■-（■-y0）=x1-x3y0=0，即x1=-■。　　同理，由③得x2=-■。　　于是①为-■ ■ 1-■ ■ 1 x0 y0 1=0，　　即■ ■ 1■ ■ 1-■ ■ 1=0， x3 1 ■ x4 1 ■-x0 1 y0=0，　　亦即x3 ■ 1x4 ■ 1-x0 y0 1=0。　　因此，由公式（3）得E，N，F三点共线。　　这种证法比标准答案更简单易行。　　题组Ⅲ-（b）证明：　　设三个圆的方程是x2+y2+ai x+bi y+ci=0（i=1，2，3），两两相减得到公共弦所在直线的方程为　　（a1-a2）x+（b1-b2）y+（c1-c2）=0 ①　　（a2-a3）x+（b2-b3）y+（c2-c3）=0 ②　　（a3-a1）x+（b3-b1）y+（c3-c1）=0 ③　　因为a1-a2 b1-b2 c1-c2a2-a3 b2-b3 c2-c3a3-a1 b3-b1 c3-c1■　　a1-a2 b1-b2 c1-c2a2-a3 b2-b3 c2-c3 0 0 0=0。　　所以，由公式（4）得其三线共点。　　如果直线①和②平行，则有实数k使得a1-a2=　　k（a2-a3），b1-b2=k（b2-b3），c1-c2=k（c2-c3）。　　这样，a3-a1=-（a1-a2）-（a2-a3）=-（k+1）（a2-a3），　　同理，b3-b1=-（k+1）（b2-b3），c3-c1=-（k+1）（c2-c3）。　　所以直线②和③也平行，从而三直线两两平行。　　师生角色的充分到位是生态课堂的本色，自由、开放的思维是高效课堂的基础。综观上述教学过程，教师以方法迁移、数学审美、异景同化、类比推广、模型化归等思维启迪方式恰到好处地预设，学生从方法论、美学、辩证法、建构主义、系统论等教育教学理论的高度心领神会地生成。师生各尽其职、物尽其用，使生态高效课堂的品位得以升华。　　参考文献：　　[1]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.4.　　[2]沈文选.矩阵的初等应用[M].长沙：湖南科学技术出版社，1996.3.　　[3]周华生.三线形面积公式及推广[J].数学通报，1996.9.　　[4]卞新荣.中学数学教学中创造性思维的培养[J].中学数学教学，1999.3.　　（作者单位：深圳市高级中学，深圳市高中数学名师工作室）