“磁发散与磁聚焦”模型在高考中的应用价值分

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律.
　　磁发散：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如图1所示.
　　磁聚集：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如图2所示.
　　图1图2这两条规律在近几年高考中频频出现，如能在平时对平行运动带电粒子磁聚焦问题进行深入分析和研究，那么在考试中遇到类似题目就会有“游刃有余，一切尽在掌控中”的自信和豪情.
　　一 、突出对粒子运动径迹的考察
　　例1如图3，ABCD是边长为 的正方形.质量为 、电荷量为 的电子以大小为 的初速度沿纸面垂直于BC变射入正方形区域.在正方形内适当区域中有匀强磁场.电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场.不计重力，求：（1）次匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积.
　　图3图4解析: （1）设匀强磁场的磁感应强度的大小为B.令圆弧AEC是自C点垂直于BC入射的电子在磁场中的运行轨道.电子所受到的磁场的作用力大小为f =ev0B，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直于纸面向外.圆弧AEC的圆心在CB边或其延长线上.依题意，圆心在A、C连线的中垂线上，故B点即为圆心，圆半径为a，按照牛顿定律有f=mv202,联立两式得B=mv0ea.
　　（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自 点垂直于 入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中.因而，圆弧AEC是所求的最小磁场区域的一个边界.
　　为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为θ（不妨设0≤θ≤π/2）的情形.该电子的运动轨迹qpA，如图4所示.图中，圆弧AP的圆心为O，pq垂直于BC边，由B=mv0ea知，圆弧AP的半径仍为a，在以A为原点、AB为x轴，AD为 轴的坐标系中，P点的坐标(x,y)为x=asinθ,y=a-acosθ. 消去参数θ得x2+(y-a)2=a2.
　　这意味着，在范围0≤θ≤π/2内，p点形成以D为圆心、 为半径的四分之一圆周AFC，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界.因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以AEC和AFC为圆心、 为半径的两个四分之一圆周AEC和AFC所围成的，其面积为S=2(14πa2-12a2)=π-22a2.
　　点评:这是一个典型的利用磁场进行平行运动带电粒子磁聚焦的考题，看起来在考磁场的最小面积问题，但实质上在考核粒子的运动径迹.从知识和能力的角度看，对于面对陌生题目的考生而言，综合考查了学生对于带电粒子在磁场中运动的综合分析能力，
　　二 、突出对粒子运动“汇聚点”的考察
　　例2如图5所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上.在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒.发射时，这束带电微粒分布在0　　
　　
　　图5图6图7解析:本题考查带电粒子在复合场中的运动.带电粒子平行于x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受重力和电场力平衡.设电场强度大小为E，由mg=qE，可得E=mg/q，方向沿y轴正方向.带电微粒进入磁场后，将做圆周运动.且易得r=R，如图6所示，设磁感应强度大小为B.由qvB=mv2/R得B=mvqR，方向垂直于纸面向外.
　　（2）这束带电微粒都通过坐标原点
　　方法1：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图7所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图b的虚线半圆，此圆的圆心是坐标原点.
　　方法2：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动.如图b示，过P点与O′点的连线与y轴的夹角为θ，其圆心Q的坐标为（-Rsinθ，Rcosθ）,圆周运动轨迹方程为： (x+Rsinθ)2+(y-Rcosθ)2=R2.得x=0，y=0；或x=-Rsinθ，y=R(1+cosθ).
　　点评:如果我们已经知道了空间一束平行带电粒子经过和自己轨道半径等大的圆形磁场区域后会聚焦在一个点，那么由（1）就马上可以知道，这些带电粒子最后全部会聚于原点，下来的解答只是按照几何原理进行结果的描述的一个数学“技术”工作了.
　　三、突出对磁场自身设定的开放性考察例3图8所示，在ｘＯｙ平面上－Ｈ＜ｙ＜Ｈ的范围内有一片稀疏的电子，从x轴的负半轴的远处以相同的速率ｖ０沿x轴正向平行地向y轴射来．试设计一个磁场区域，使得（1）所有电子都能在磁场力作用下通过原点O； （2）这一片电子最后扩展到－2Ｈ＜ｙ＜2Ｈ范围内，继续沿x轴正向平行地以相同的速率ｖ０向远处射出．已知电子的电量为ｅ、质量为ｍ，不考虑电子间的相互作用． 解析根据题意，电子在O点先会聚再发散，因此电子在第Ⅰ象限的运动情况可以依照例1来分析．即只有当磁场垂直纸面向里、沿y轴正方向射入的电子运动轨迹为磁场上边界（如图9中实线1所示）、沿其他方向射入第Ⅰ象限磁场的电子均在实线2（磁场下边界）各对应点上才平行x轴射出磁场，这些点应满足：ｘ２＋（ｙ－2Ｈ）２＝（2Ｈ）２．实线1、2的交集即为第Ⅰ象限内的磁场区域．由ｅｖ０Ｂ１＝ｍｖ０２／Ｒ，得Ｂ１＝ｍｖ０／2ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向里． 显然，电子在第Ⅲ象限的运动过程，可以看成是第Ⅰ象限的逆过程．即只有当磁场垂直纸面向外，平行于ｘ轴向右且距x轴为H的入射电子运动轨迹则为磁场下边界（如图中实线1′所示）、沿与x轴平行方向入射的其他电子均在实线2′（磁场上边界）各对应点发生偏转并会聚于O点，这些点应满足：ｘ２＋（ｙ－Ｈ）２＝Ｈ２．实线1′、2′的交集即为第Ⅲ象限内的磁场区域．所以Ｂ３＝ｍｖ０／ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向外． 同理，可在第Ⅱ、Ⅳ象限内画出分别与第Ⅰ、Ⅲ象限对称的磁场区域，其中Ｂ２＝ｍｖ０／ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向里；Ｂ４＝ｍｖ０／2ｅＨ，方向垂直ｘＯｙ平面向外．点评要能够顺利解出本题，首先要确定的是粒子的运动轨迹，而粒子的轨迹所在区域必须有偏转磁场的存在.题目中粒子发出于同一点（原点），要求出磁场时和轴平行，很好的符合了以上的平面磁聚焦模型，第一时间第一反应马上会构造出以上解答中的第一象限中情况.在磁场方向不确定的情况下，需要细心、严密、周全，经过磁场的反向研究很容易顺藤摸瓜找到其他各象限的所有情况.［江西省信丰县信丰中学(341600)］