立体几何教学，如何凸现逻辑连贯

偶伟国，江苏省太仓高级中学（215411）.

    数学是一门注重培养学生逻辑思维的学科，因此数学教学要充分体现严密的逻辑性.章建跃认为，数学教学要以数学知识的发生发展过程和理解数学知识的心理过程为基本线索，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，使他们在掌握数学知识的过程中学会思考.立体几何中，研究线、面的位置关系——不同位置关系所研究的问题、思路和方法具有一致性，教学中应利用这种一致性，培养学生的独立思考能力，使学生学会学习.本文以“直线与平面垂直”为例对此进行探讨.
    一、挖掘教学内容之间的逻辑关系
    “直线与平面垂直”是直线和平面相交中的一种特殊情况，是空间直线与直线垂直位置关系的延伸，又是平面与平面垂直的基础，是空间中垂直位置关系间转化的桥梁，同时它又是直线和平面所成的角等内容的基础，因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一，在教材中起到承上启下的作用.
    教材对线面位置关系的安排，先研究“线面平行”，再研究“线面垂直”.因两者内容的相似性，因此在教学策略上完全可作类比，让学生明确如下过程：
    
    这个层层递进的教学流程，是研究一个几何对象的基本套路，对于学生掌握认识和解决问题的方法很有用，也是提高学生逻辑思维能力的载体，在教学中要给学生明示.让他们在了解之后，能明确探究方向，增强学习主动性，促进自主学习能力的提高.
    同时，从“线面平行”到“线面垂直”还应体现数学思想方法上的连贯性.如“空间问题平面化”，“平面问题空间推广的可行性”等，都体现了化归思想、类比思想等等.这些思想方法的恰当应用，就能在教学中突出重点，并使学生更容易地突破认知难点.
    本课例中，构建“线面垂直”定义是教学难点.因为学生能直观感知，能意会，但要准确描述定义则比较困难.因此要让学生增强体验，多观察，多操作，多举实例.如以校园中的旗杆为例，让学生课间绕旗坛四周观察，使其能获得这样的体会：无论从哪个方向看旗杆都是直的.抽象成数学语言即是：旗杆垂直于地面上任何方向的直线.再结合课本的圆锥生成的例子，进一步感知直线与平面垂直位置关系，可以转化为该直线与平面内直线的垂直关系.至此线面垂直的定义已是呼之欲出了，学生就能够自行概括得出了.
    另外，从本节课的教材内部结构来看，不仅知识之间存在显性的逻辑连贯，而且思想方法上也存在直接的关联性.
    如在给出定义后，教材出了一个证明题：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
    笔者认为，这个例题有两个意图：一是体会定义证法，二是为研究判定定理作铺垫.这样理解的缘由是，定义证法是把“所有”等价为“任意”，其转化过程不易想到.而“任意性”又连接了“不确定性”，给学生证明带来了操作上的难度，为此有必要探寻具有“确定性”、“可操作性”的判定定理.可惜的是，这个暗含的逻辑关联被许多教师忽略，问题一带而过，另起炉灶去研究判定定理.这种教学上的割裂让人感觉东一榔头西一棒，学生只能是被教师牵着鼻子走.
    二、分析学生认知基础，找准逻辑关联点
    数学概念教学，在把握学生认知基础后，要从学生思维最近发展区出发设计问题，层层推进，这样既顺应了学生原有的认知结构，又能逐步改变学生的认知图式，从而使学生顺利实现新概念的建构.
    学习“线面垂直”的认知基础，教师普遍认为有两方面：一是学习“线面平行”的经验，其研究方法可以迁移到“线面垂直”中来；二是在空间两条直线位置关系的认识中，已从“相交垂直”拓展到了“异面垂直”.但实际情况并非如此.下面看解决例1时学生的思维过程.
    例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直这个平面.
    为引发学生思考，把它改成探究性问题：在平面几何中我们知道，如果两条平行直线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线.现把“垂直于直线”改为“垂直于平面”，这个结论成立吗？
    为充分暴露学生思维过程，课堂上让学生自行研究.下面是探究后的课堂交流.
    学生甲：设直线a，b与平面α分别交于点A、点B，连接AB.
    因为直线a⊥α，直线ABα，故有a⊥AB.因为a//b，所以b⊥AB，故有b⊥α.
    
    教师：证明直线b垂直平面α的依据是什么？
    甲：线面垂直的定义.
    话音未落，就有同学提出异议.定义要求直线b与平面α内的任意一条直线都垂直，你只证了与一条具体的直线垂直.
    教师：如何改进？
    不一会儿，学生乙建议，把直线AB改成仅过A点的一条直线l，类似地可证直线b垂直过点A的直线l.由此即得证b⊥α.
    “此法可行吗？”教师启发大家思辨.
    学生丙：还有缺陷.虽然直线l相比直线AB是有了任意性，但它仅仅是过点A的一条直线，任意性不够，因为平面内还有许多不过点A的直线.
    学生乙：不过点A的直线，可以通过平移让其过点A.由垂直的平移传递性，同样可证得这样直线与b垂直.
    学生丁抢答：那不如就在平面α内画任意一条直线得了.
    教师追问：“可行吗？”
    一番研究后，得到证明.
    显然，课本上三言两语的应用定义证明，对学生而言并非易事.因为学生的认知基础是：对相交垂直根深蒂固，异面垂直始终有悬空之感.展示他们的思维过程，就能抓住思维中的漏洞，不断完善，由此促进学生对定义及其应用条件的理解.这种研究方式也为学生今后的学习提供了很好的范式.
    综上所述可见，学生的认知基础确实存在差异，而差异的消除过程正是培养学生思维连贯性的过程.
    三、体现逻辑连贯的教学设计
    基于上述分析，下面给出教学设计.本设计的核心是以问题串诱发学生主动探究，在解决问题的同时，学会新知，提升能力.
    1.复习旧知、引入课题
    问题1　直线与平面有几种位置关系，已经研究了哪几种？直线与平面相交，特殊的位置关系是什么？
    揭示课题：直线与平面垂直
    设计意图：复习回顾，唤醒旧知，明确学习任务.
    2.创建情景、探寻定义
    问题2　能否举一些“线面垂直 ”的实例？（估计学生会提出“旗杆与地面垂直”）
    追问：
    （1）观察“旗杆与地面垂直”，思考一个现象：绕着旗坛一圈，无论从哪个方向观察旗杆，它都是直的.上述现象说明了什么？
    （2）观察圆锥形成过程，思考：轴与底面半径的位置关系是什么？轴与底面任一直线的位置关系又是什么？
    问题3　通过上述实例和分析，能否概括线面垂直的共同特征？
    设计意图：充分举例，让学生对“线面垂直”有足够的感性认识.剖析实例，观察思考，让学生悟出隐含在现象背后的数学道理.
    3.数学建构，认识定义
    （1）让学生试说定义，引导学生剖析、完善定义.
    （2）辨析定义，说出定义中的关键词.追问：能否把“任意一条直线”改为“无数条直线”？
    （3）画出图形，并用符号语言表示定义.
    （4）揭示定义的双重性：可以判定“线面垂直”；通过“线面垂直”又可以得出“线线垂直”的性质.
    设计意图：定义让学生自己建构，师生逐步共同完善.延用研究“线面平行”的基本套路进一步认识“线面垂直”，体现研究方法的连贯性.
    4.尝试解决，深化认识
    例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
    提示：画出几何图形，并用符号语言写出已知、求证.
    引导性问题：条件和结论都涉及线面垂直，两者如何建立联系？目前研究线面垂直的方法有哪些？
    让学生思考之后，先尝试证明，再以学习小组为单位进行课堂展示，其他组进行评价、质疑，提出合理的意见和建议.
    设计意图：教材安排例1的目的是定义应用.本例是学生自主探究的好素材.探究的过程可以让学生体会到定义证明的困难之处，在于平面内任意一条直线的不确定性，由此引出研究判定定理的必要性.
    5.操作验证，感知判定
    （1）操作、观察并思考
    问题4　怎样让一张矩形纸片折叠后竖直放在桌面上？
    观察：此时折痕与桌面有怎样的位置关系？
    追问：考察旗杆与地面是否垂直时，需要考察几个方向？
    （2）探究判定定理
    问题5　上述两例，对研究线面垂直的判定定理有何启示？你能从中归纳出判定线面垂直的方法吗？
    让学生试说线面垂直的判定定理，然后完善，画出图形，并用符号语言表示.
    设计意图：沿用探索立体几何定理的常用方法，即“感知实例，确认判定”.让学生在动手操作、观察分析的基础上，形成判定定理的雏形.在此基础上，通过探讨交流得出判定定理.由于现行教材对判定定理证明均不作要求，因此必须要强化探索过程.
    6.应用新知，解决问题
    
    引导性问题：
    （1）目前证明线面垂直有些什么方法？
    （2）你觉得采用哪个方法较好？
    （3）条件中的正方体提供了许多线线垂直和线面垂直，怎么与BD联系起来？
    例3　应用线面垂直判定定理再证明例1.
    设计意图：两种证法作比较，体会判定定理的价值.
    7.总结反思，完善认知
    问题6　（1）本节课学习了哪些知识？它们之间有何联系？
    （2）我们是如何研究的？
    （3）试比较“线面平行”与“线面垂直”有哪些异同点？
    设计意图：回顾所学知识，意在形成知识框架，进而完善学生的认知结构.数学思想方法的提炼，使学生能在理解的基础上达到有效迁移.而“线面平行”与“线面垂直”异同点的比较，不仅体现了类比思想，更体现了逻辑连贯.
    四、从逻辑连贯反思教学实施
    根据上述设计进行的课堂教学，在定义形成阶段，由于提供了丰富的实例，让学生观察、思考、分析，因此得出定义相当顺畅.
    辨析定义有一定障碍，特别是探讨“任意一条直线”能否改为“无数条直线”？费了周折.原因在于问题的提出者是教师，学生还没有深入思考到这个层次.那么这样的辨析是否有价值？很难有定论，关键看其是否能激发学生的认知冲突.事实上，学习一个新概念，学生对其认识不可能一步到位.因此，如果把这一辨析放在课堂小结，也许是画龙点睛之举.
    课本例1的教学实施，与预想基本一致.课本如此简练的证明对学生而言却并不是一蹴而就，如前所述，学生之间相互质疑、探讨很激烈.由此使他们体会了应用定义证明的难度，也就激发了探究判定定理的强烈愿望，教材的逻辑意图不言自明.
    通过“直观感知，操作确认”，并强化了探索过程，判定定理的得出似乎顺利.但判定定理的应用则有些出乎意料.巡视学生证明例2，有一种证法令人意想不到，但却有一定的代表性.
    
    
    上述问题表明，笔者在教学设计时还没能完全把握学生的思维.同时也说明，要破除学生平面几何的思维定势，关键要不断增强空间感和空间想象能力.本题如果增加一问：求证⊥面ABCD，也许会一举两得.
    以上从分析教材、把握学生认知、设计教学过程以及反思教学实施等方面，探讨了如何在立体几何教学中凸显逻辑关联，使教学更具连贯性、合理性和科学性的问题.总而言之，要搞好课堂教学，关键还是在理解数学，善于研究教材内在的逻辑联系，准确把握学生的认知基础.在此基础上，设计具有思考力度的问题，促使学生展开探究，在掌握知识的同时，学会思考，这样才能有效地实现思维能力的提高，而理性精神的培养也就蕴含其中了.