“做中学”与“例中学”在数学教学中的作用解

　“做中学”与“例中学”，是新课程背景下数学教学的两种重要方式. 但在实际教学中，不难发现许多教师对这两种教学方式的认识有失偏颇. 现笔者不揣浅陋，对“做中学”与“例中学”的作用与意义做一抛砖引玉之探.
　　一、“做中学”的作用及意义
　　夸美纽斯有一句名言“教一个活动的最好方法是演示”. 弗赖登塔尔的数学教育观，是把书本上的成品数学，转变为学生通过“做数学”、“再创造”出来的数学. 弗赖登塔尔认为：学习数学唯一正确的方法是实行“再创造”. 也就是通过学生自己的“做数学”活动，把本来需要教师传授的知识、需要浸润的观念变为学生在活动中自主生成、缄默感受的东西. 弗氏认为，这是一种最自然、最有效的学习方法. “做数学”对学生而言即是“做中学”. 在“做中学”中，教师的任务是引导和帮助学生进行这种“再创造”活动，而不能只是把现成的结论灌输给学生.
　　杜威说：“如果学生不能筹划自己解决问题的方法，自己寻找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么. ”[1]这段话诠释了“做中学”的意义. 从“做中学”得来的知识，由于是学生亲历知识的形成过程得到的，这些知识在学生的认知结构中就容易处于稳固地位，具有记忆持久，调用自如，迁移灵活的特点. 又因为在“做中学”活动中，学生常处于探究条件开放、探究方向不明的环境中，从而有利于学生主意自己拿，方法自己找，策略自己定，有利于学生逐步积淀生成正确的数学意识与观念. [2]
　　二、“例中学”的作用及意义
　　“样例学习”（下面简称“例中学”），是指学习者从样例的研习中习得样例中所蕴含的知识、技能、思想的过程. “例中学”近几十年来成为认知心理学家研究的热点问题. 一些相关研究认为，人们在解决当前问题时总会想到以前学过的例子，并利用这些例子来解决当前问题，难怪一些研究者把样例比喻为“潜在的教师”. [3]
　　数学史表明，数学上的许多知识，是人类历经数百年甚至上千年，经过众多数学家的批判、修正、继承、发展才得以完善的. 学生要想在短短几年时间，完成人类上千年积淀下来的文化精华的学习，一定是高强度的，这就决定了学生课堂学习的主要方式，应是文化继承行为的学习，也就是经过教师精心预设下的接受学习. 奥苏贝尔指出，接受学习可以是有意义学习，发现学习也可能是机械学习. 心理学研究表明，和“做中学”相比，“例中学”不仅可以花费较少的时间就习得相关的技能，而且还会有较好的迁移效果，并且能有效地减轻学习者的认知负荷.
　　新课程倡导多让学生经历“做中学”活动. 新课程实施以来，我们发现大多数公开课、评优课，教师总是要“处心积虑”地在教学的各环节用“做中学”进行探究教学. 而用“例中学”的教师，许多人从其神情上就看出底气不足，评课时也总有教师给出“教学方法陈旧，没有体现新课程理念”等批评意见. 事实上，倡导“做中学”教学方式，并非就是要让“例中学”从此退出课堂，两种方式在教学效果上未必定能分出伯仲. 笔者认为，新课程倡导的是多种教学方式共存，只存在恰当的方法，不存在不好的方法. 方法选择正确，两种方式都能实现有效教学，都能促进学生数学素养的提升.
　　三、“做中学”与“例中学”教学方式的选择依据
　　1.依据数学史的相关知识选择方法
　　案例1：在第六届全国高中青年教师优秀课观摩活动中，选手甲、选手乙都试图对“什么样数的平方是负数”组织讨论与探索. 特别是选手甲，对“什么样数的平方等于-60”展开了长达数分钟的探索.选手乙在引出i2=-1以后，对实数可以与i进行加、乘运算，且原有的加乘运算仍然成立，一晃而过，对学生说“听一听就可以了”，随即给出了复数的代数形式a+bi[4].
　　上述两个教学环节，笔者认为，教师恰好把“做中学”与“例中学”教法用颠倒了. 但深究一下，又绝非仅仅是错用了教法的问题，这其中其实内隐着教师一些知识上、观念上的不足.
　　认知的历史发生原理告诉我们，个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程. 美国数学史家克莱因强调说：“无庸置疑，大数学家所遭遇的困难恰恰是学生所经历的障碍. ”[5]上述案例，教师如果具备了一些数学史知识，了解从卡丹开始讨论虚数，到复数广为人们接受，经历了长达200多年的时间，其间甚至包括大数学家欧拉都曾认为这种数只存在于“幻想之中”……教师教授复数时，就能明白对于i2=-1之类的问题，也就是在发明发现之初，众多数学家都遭逢长时间纠结难解的一些知识点，我们就不该让学生“做中学”，而用“例中学”效果会更好. 而对于复数代数形式a+bi的得出过程，如果教师能在平时的教学中，注意向学生浸润诸如“数系扩充，因袭数性”等数学大观点，让学生回顾搜索以前在数系扩充时的类似“遭遇”，放手让学生自己探究、归纳、概括，学生一定能根据有理数集扩充为实数集时出现的各种数的结构特征，得出a+bi的形式. 所以教师是否具备数学史的基本素养，能否透过教材的若干知识点，知晓历史上大数学家遭遇的认知障碍，并能由此预测教学难点，是教师决定采取“做中学”还是“例中学”方式的重要依据.
　　2.依据学生的数学现实水平选择方法
　　案例2：笔者曾担任高二文科普通班和理科强化班的两班数学教学，面对同样的知识内容，但认知水平差异显著的两个群体，笔者时常采用在理科班“做中学”，在文科班“例中学”的教学方式，事实证明效果不错.
　　比如讲到椭圆标准方程的推导，当列出方程+=2a时，文科班是在笔者的启发引导下，师生们分析出，首先要把根号去掉. 不能一次去掉两个根号，我们就一个根号一个根 号地逐个解决. 在师生们宏观得出程序化步骤后，让学生们“例中学”，动手推演出了标准方程. 而在理科班上课时，笔者先向学生介绍了评判一个方程是否优美的审美标准，然后让学生们讨论上述方程最终美的形式大致是什么样的，随后便让学生八仙过海，各显神通. 果然，有的学生就是用前述两次去根号方法，还有的学生是把方程+=2a（1），分子有理化，得-=（2）.联立方程（1）、（2），除得出标准方程外，笔者继续与学生一起挖掘该学生的化简步骤，即若令F1（-c，0），F1（c，0），我们还附带得出右焦半径公式PF2=a-，再由PF2=a-=
　-x，得出=.再由对称美，得出左焦半径公式与完整的第二定义. 笔者认为，这一“做中学”过程，一是培养了学生字符运算能力，自主分析、自主选择化简路径的决策力；二是培养了学生耐心、细致、不畏计算烦琐的意志品格，同时也为学生得出椭圆标准方程打开了更开阔的视角，并为后续第二定义的出现不着痕迹地打下了伏笔，起到了帮助学生构建上下贯通、八方联系的知识网络的作用. 而教师在其间则发挥了闻道在先、引领入道的“有指导的再创造”作用.
　　两班级采取同课异构的理由，是两班学生数学现实水平的显著差异.
　　所谓数学现实，即学生接触到的客观世界中的规律以及有关这些规律的数学知识结构，它不但包括客观世界的现实情况，也包括学生使用自己的数学能力观察客观世界所获得的认识. 弗赖登塔尔指出，数学教学“只有源于现实、寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会如何从现实中提出问题与解决问题，如何将所学知识更好地用于现实”. [6]
　　理科班学生数学基础扎实，运算能力强，自信好强，多数人对数学有浓厚的兴趣. 课堂上放手让学生“做中学 ”，让学生体验像数学家那样的“做数学”过程，更有利于激发学生探究的热情，除习得知识外、还可以收获问题解决策略和数学式看问题的眼光等多元成果. 而文科班许多学生数学是其短腿科目. 对于该班的教法，要按朱熹的话来做：“做事情要宁浅勿深，宁小勿大，宁下勿上，宁近勿远. ”因为高中的数学知识，对于他们本就是太抽象、太晦涩、太灵活. 让他们超出自己能力范围地盲目探究，只能是绠短汲深，效益低下，不仅基础知识不能学到手，更可怕的是学生可能从此丧失对数学的学习兴趣、自信心与斗志力.
　　3.依据教材内容的特点选择方法
　　教材中有些知识本身具有经验性、演绎性与对象性，从学生数学现实出发，开展“做中学”是必要的，也是可行的. 例如函数的单调性、向量加法的几何意义、用二分法求方程的近似解等内容. 但有些知识本身具有超验性、合情性或程序性，还有些知识是一目了然的知识性材料，有些是一些约定俗成的规定性材料，这些内容应该用“例中学”而不必探究. 比如集合的定义及表示法、函数的定义、导数的意义等.
　　当然，“做中学”未必一定要让学生得出新的结论或探究出预期成果才算圆满，关键是要让学生养成凡事都要追究缘由的科学态度，体会数学研究的一般性方法，有时只要学生经历了、体验了就没有遗憾了. 而在“例中学”中，教师则应要求学生搞清学习材料的意义，对一些关键步骤给出自我解释，自觉更正样例学习之前对相关材料的错误认识，这是保证“例中学”是意义学习而非机械学习的关键所在.
　　印度哲学大师奥修说：“当鞋合脚时，脚就被忘记了.”我们相信，当教学方式之鞋与知识内容、与学生的数学现实水平之“脚”相契合时，学生就一定能学有所乐，学有所得，学有所成，这正是有效教学追寻的佳境.
　　参考文献：
　　[1] 刘静，杨新鹏.谈数学教学中的“数学化”[J].聊城大学学报（自然科学版），2005（2）：104.
　　[2]乔爱萍.论弗赖登塔尔数学教育思想的现实意义[J].江苏教育与研究，2014（2A）.
　　[3] 邢强，莫雷.样例学习研究的发展及问题[J].心理科学进展，2003，11（2）：165-170.
　　[4]连春兴.复数概念教学中应注意的几个问题[J].中国数学教育，2013（1-2）：7-8.
　　[5] 徐章韬，汪晓勤，梅全雄.认知的历史发生原理及其教学工程化——以数学学科为例[J].数学教育学报，2012，21（1）：28.