探讨数学知识在若干金融问题中的应用

　　数学是一门基础科学，也是一种思想方法，可以深入地揭示出事物发展的一些本质规律，同时具有严密逻辑性、高度抽象性以及广泛的应用性。伴随人类社会的不断进步与信息科技的普及，现代数学也广泛的渗透到社会科学中的各个领域，正在为科技发展提供强大动力。金融数学作为新兴的数学和金融学相互交叉的学科，其主要特点是利用有效的数学工具方法揭示出金融学的本质特性和经济运行的普遍规律，对有潜在风险的各个未定权益的合理定价和风险规避策略进行分析研究，以此来解决金融领域的问题。它的研究内容主要为关于在不确定条件下的证券组合选择以及资产定价理论，这一理论中最重要的三个概念就是套利、最优和均衡。现如今，伴随着金融市场的快速发展，金融学和数学之间的联系越来越密切，数学理论和方法为金融学的发展提供了有力的工具，而现代金融学的发展也推动了数学某些分支的进步。

　　一、金融数学理论框架及研究的主要问题

　　在基本理论体系的建构形成中，金融数学学科最主要的就是引用并运用现代数学学科体系中非线性分析、鞅理论、数理统计、泛函分析、分形几何、随机分析、微分对策、随机控制、数学规划、倒向随机微分方程等基本理论，和与之相关的应用性处理方式。金融数学学科重要的理论框架为：资本资产定价模型，套期保值理论，利率期限结构理论，套利定价理论，现代证券组合理论，期权定价理论等。以下几个问题是金融领域的重点研究：一是不完备金融市场的风险控制理论与风险管理；二是利率衍生产品与利率的期限结构的定价理论等；三是不完备金融市场中有价证券（如期权、期货等衍生工具）的资本资产定价模型消费理论与最优投资；四是怎样组合投资证券才能减少投资风险或者获得最大收益。此外，也有在证券价格的分析中运用了新的非线性分析工具，例如模式识别、小波分析、分形几何以及混沌学等。有人在期货市场创新的仿真研究中利用遗传算法和模拟退火法，有人在股票种类和证券选择的预测中运用人工智能方法、神经网络方法等。

　　用数学知识来解决金融问题，已经成为了现代的金融理论重要的研究方向，但最优控制理论依旧是数学理论应用中最直接的办法。金融理论发展到一定时期后才兴起随机最优控制理论，如果对随机问题进行有效果的分析和处理，可以运用贝尔曼最优原理，联合函数分析法、测度理论。

　　二、数学知识在某些金融问题中的运用

　　（一）数学知识在金融投资和收益中的运用

　　因为利率、汇率、商品价格以及股票价格的波动，一般被认为是金融投资活动中存在的风险，这项风险导致实际的投资活动中经济收益偏离期望的收益值或者平均收益值。现代金融工程基本理论发展过程中的重要组成内容就是风险度量工作。常用的度量金融风险的数学方法有：确定性数学方法与非确定性数学方法。

　　1.确定性数学方法。确定性数学方法通过研究分析金融投资风险中的各项构成因素与评估指标，把这些因素与指标抽象成确定性的数学变量，先进一步将它们之间的相互关系抽象成数学函数式、数学模型或数学计算公式，再通过数学演算得出相应的数值结果。人们为了达到防范金融投资风险的目的，可以依据这些结果，度量与评估金融投资的风险，调整以及控制金融交易活动。在此之间，投资风险分析的常用指标是债券价格、债券收益率、股票价格以及股票指数。金融学研究员为了制定形成对现有金融活动实践行为的一系列改良方案，选取和实施即将要进行的金融投资组合，提供充足的准备条件，需要经过对影响金融投资活动风险状态的一些数学指标进行计算分析，实现对常见的金融活动风险的准确认知，并在这样的基础上完成对正在发展中的金融交易活动开展状态的准确认知。

　　2.非确定性数学方法。产生风险的原因是各种不确定因素的影响，这是依据金融投资风险的概念得出来的。只利用确定性数学方法是不能够准确地描述这些因素以及相互关系的。所以为了研究怎样防范金融投资的风险，一定要应用非确定性数学方法如数理统计、概率论、随机过程等。把投资人在实际开展金融投资活动中可能要遭受的经济资金损失，和收益率?D化成随机数学变量，再借助数理统计学科体系中的数学方差、期望以及标准差等统计数据计算处理方法，从而完成相对具体数据对象计算分析处理的这一项过程，是非确定性数学理论应用在控制金融投资活动风险方面，最突出的表现形式。从一次金融投资活动涉及两项或者是多项投资产品对象的条件下，分析人员展开相对具体的数据度量处理活动，还需要引入与应用协方差、随机向量以及相关系数等统计数学处理工具。

　　（二）数学方法在金融预测和决策中的运用

　　金融活动中，存在很多不确定的因素，决策者是否做出正确的判断是由怎样对未来的金融变量如保贴率、储蓄存款余额、通胀率等进行预测决定的。在金融预测常用的数学方法有一次和二次移动平均法、最小二乘法、修正指数曲线法、一次和二次及三次指数平滑法、一元线性回归法、卡尔曼滤波法、生长曲线预测法、三点法、两步预测法、马尔可夫预测法等。在金融决策常用的数学方法有最大产量组合法、极值选优决策法、期望值法、线性规划决策法、边际分析法、最小成本组合法、无差异曲线法等。

　　三、结语

　　综上所述，伴随着金融数学的不断发展和进步，金融数学在经济、金融等领域的应用也越来越广泛。很多国际著名的金融数学家为此还发起成立了“金融学会”，来推动数学理论在金融学中的应用。不过，因为金融市场数学模型是把理性预期的假设为前提条件的，但实际中，短期内的预期甚至会倾向于投机的影响，所以金融市场的预期是非理性的；以市场均衡模式和线性数理方法为基础，金融市场数学模型是在在新古典经济学理论框架之中建立的；但实际上金融市场不均衡是绝对的，均衡是短暂的。此外，鉴于经过定量分析或数学模型方法所得到的结论是半经验半理性的这种现象，实际价格和数学模型理论计算之间会存在一定的偏差，虽然对历史数据拟合较好，但是对未来预测并没有太高的成功率。但毋庸置疑的是，，数学理论研究的方法与结果，将在现在所有的理论框架基础之上不断丰富，从而使得数学模型可以提高在金融领域中的应用效果，也能更好地诠释现实。

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