渐开线圆柱齿轮几何参数计算的计算机辅助设计

　　 论文 关键词: 齿轮　精度　几何参数　 计算 机　辅助软件

　　论文摘要 ：齿轮是机器、仪器中使用最多的传动零件，尤其是渐开线圆柱齿轮的应用更为广泛。齿轮是一个较复杂的几何体，对单个齿轮的齿廓加工误差国家标准规定了17种控制参数，根据齿轮使用要求的不同，对以上17个参数控制的要求也不同。如何确定齿轮的精度等级以及依据其精度等级确定相关控制参数的公差值，是齿轮设计的关键所在。
　　传统的设计方法是依据经验用类比法，结合查表及大量繁杂的公式计算，这样的方法一是工作量大，二是不可能对各参数进行优化及筛选，很难保证齿轮精度设计的合理性。因此，借用了辅助软件对齿轮的几何参数进行计算后，对齿轮精度的设计及其相关的数据进行计算机处理，使齿轮的精度设计达到快速、准确、合理，齿轮设计起来就没那么费时和吃力了。

　　引 言

　　现行的机械行业中在齿轮设计的过程里，非常缺乏对几何参数计算的比较统一的软件，很多时候只是采用手工计算、取大概的数值，对于一些比较复杂的齿轮来说，制造出来的齿轮存在误差较大。传统的设计方法是依据经验用类比法，结合查表及大量繁杂的公式计算，这样的方法一是工作量大，二是不可能对各参数进行优化及筛选，很难保证齿轮精度设计的合理性。因此，借用了辅助软件对其进行计算后，对齿轮精度的设计及其相关的数据进行计算机处理，使齿轮的精度设计达到快速、准确、合理，齿轮设计起来就没那么费时和吃力了。我国现有（1）gb/t10095。1-2001渐开线圆柱齿轮精度第一部分：轮齿等效iso1328-1。（2）gb/t10095。2-2001渐开线圆柱齿轮精度第二部分：径向综合等效iso1328-2。

　　1. 渐开线圆柱齿轮几何参数计算相关研究综述

　　1.1渐开线圆柱齿轮国内的研究现状

　　1.1.1齿轮的简介

　　标准齿轮的结构构造图如图1。

　　图1 齿轮构造图

　　齿轮的组成结构一般有轮齿、齿槽、端面、法面、齿顶圆、齿根圆、基圆和分度圆。

　　轮齿简称齿，是齿轮上每一个用于啮合的凸起部分，这些凸起部分一般呈辐射状排列，配对齿轮上的轮齿互相接触，可使齿轮持续啮合运转；基圆是形成渐开线的发生线作纯滚动的圆；分度圆，是在端面内计算齿轮几何尺寸的基准圆。

　　渐开线齿轮比较容易制造，且传动平稳，传递速度稳定，传动比准确，渐开线圆柱齿轮是机械传动量大而广的基础零部件，广泛在汽车、拖拉机、机床、电力、冶金、矿山、工程、起重运输、船舶、机车、农机、轻工、建工、建材和军工等领域中应用。因此 现代 使用的齿轮中，渐开线齿轮占绝多数，而摆线齿轮和圆弧齿轮应用较小。

　　1.1.2研究现状
　　我国1960 年以前没有圆柱齿轮精度标准，直接应用苏联toct 1643—46标准，1958年起原第一机械 工业 部组织力量着手研究，经过分析、研究和验证苏联toct 1643—56标准，制订和颁布jb 179—60《圆柱齿轮传动公差》机械工业部部标准。对当时机械工业的 发展 起到积极推动作用，很快达到世界五十年代水平，在七十年代末国家机械工业改革开放，要求迅速赶上世界齿轮发展步伐，机械工业部领导下决心，直接以iso 1328—1975国际基础修订jb 179—60标准，以等效采用iso 1328—1975标准，颁布jb 179—81和jb 179—83渐开线圆柱齿轮精度机械工业部部标准，大力进行宣贯，促进圆柱齿轮精度质量明显的提高。同时带动国内齿轮机床、刀具和量仪的发展，于1998年由技术监督局颁布为gb 10095—88渐开线圆柱齿轮精度国家标准。我国在改革开放，发展 经济 的政策指示下，大量引进德国、日本等西方工业发达国家的工业机械产品，而配件需要国产化，jb 179—83和gb 10095—88标准已不相适应，一方面鼓励直接采用德国、日本和美国标准，另一方面以宣贯行政文件形式进行补充。提出齿距偏差、齿距累计误差、齿向误差四个为必检项目评定齿轮精度等级。宣贯中发现达到齿形误差精度最难。其齿形的齿端部规定不够合理，齿形精度达到要求但齿距精度尚有一定的富余而不相协调。部分先进 企业 总结 国内外技术经验，采取积极的技术措施，生产出与世界水平相当的齿轮产品。以上这些与iso1328-1997标准相对照，在很多关键地方是不谋而合。当前我国在重大机械装备中所需渐开线齿轮都可以国产化。现行gb 10095—88渐开线圆柱齿轮精度国家标准是等效采用iso 1328—1975国际标准的，现在国际上已将iso 1328—1975标准作废由iso1328-1997标准代替。1997年由国家技术监督局下任务对gb 10095—88标准进行修订，经过对iso1328-1997标准翻译、消化和征求各方面意见，绝大多数认为我国齿轮产品应与国际接轨，促进国际和国内齿轮产品的贸易，发展齿轮生产。修订gb 10095—88国家标准应等同采用iso1328-1997国际标准。

　　目前国家技术监督局和国家机械工业局鼓励要求技术进步迫切和有条件的齿轮制造企业，直接采用iso1328-1997国际标准作为企业标准生产齿轮先行一步，深入、充分发挥iso1328-1997国际标准作用，为本企业真正提高齿轮性能质量、降低制造成本提高经济效益，走入国际市场
。

　　我国现有（1）gb/t10095。1-2001渐开线圆柱齿轮精度第一部分：轮齿等效iso1328-1。（2）gb/t10095。2-2001渐开线圆柱齿轮精度第二部分：径向综合等效iso1328-2。

　　1.2课题研究的意义
　　齿轮是机器、仪器中使用最多的传动零件，尤其是渐开线圆柱齿轮的应用更为广泛。齿轮是一个较复杂的几何体，对单个齿轮的齿廓加工误差国家标准规定了17种控制参数，根据齿轮使用要求的不同，对以上17个参数控制的要求也不同。如何确定齿轮的精度等级以及依据其精度等级确定相关控制参数的公差值，是齿轮设计的关键所在。传统的设计方法是依据经验用类比法，结合查表及大量繁杂的公式计算，这样的方法一是工作量大，二是不可能对各参数进行优化及筛选，很难保证齿轮精度设计的合理性。因此，借用了辅助软件对其进行计算后，对齿轮精度的设计及其相关的数据进行计算机处理，使齿轮的精度设计达到快速、准确、合理，齿轮设计起来就没那么费时和吃力了。

　　1.3设计的研究思路与研究的重点
　　本设计的研究重点是渐开线圆柱齿轮传动设计的计算。研究外啮合齿轮和内啮合齿轮传动的主要几何参数计算、齿轮齿厚计算、精度计算和强度计算，帮助实现齿轮的合理设计。

　　2. 渐开线圆柱齿轮几何参数计算的辅助软件的主要研究内容

　　2.1齿轮传动设计步骤

　　齿轮传动设计步骤：

　　1、简化设计：根据齿轮传动的齿数、啮合角和模数等，确定中心距等主要参数。

　　2、几何设计计算：设计和计算齿轮的基本参数，并进行几何尺寸计算。如：计算分度圆直径、齿高、齿顶高、齿根高、基圆直径等。

　　3、齿厚测量尺寸计算：根据上步的计算结果和已知参数，计算齿轮的齿厚参数。如：固定弦齿厚、固定弦齿高等参数。

　　4、精度计算：计算出齿轮的精度测量参数，如：各级精度等级、齿厚上/下偏差、侧隙公差、最小/大极限侧隙等。

　　5、强度校核：在基本参数确定后，进行精确的齿面接触强度和齿根弯曲强度校核。分别将计算出的接触/弯曲强度允许传递功率与已知功率相比较，如果都大于实际功率，则所设计的齿轮强度过关。

　　6、如果校核不满足强度要求，可以返回2)，修改参数，重新计算。课题研究的主要内容就是设计一个进行齿轮设计的计算软件，现在课题是几何尺寸计算，主要应集中在此，精度只是其中一部分。在设计渐开线圆柱齿轮时 会计 算出其齿数、齿形和齿高等。

　　2.2渐开线圆柱齿轮几何参数 2.2.1外啮合标准圆柱齿轮传动几何尺寸计算
　　外啮合标准圆柱齿轮传动参数计算如表1。

　　表1 外啮合标准圆柱齿轮传动参数

名称

符号

直齿轮

螺旋齿轮

原始参数

基准齿形

齿形角

α=20°

tgαt=tgα/cosβ

齿顶高系数

ha * =1

hat * = ha * cosβ=cosβ

径向间隙系数

c * =0.25

ct * =c * cosβ=0.25cosβ

齿根圆角半径系数

γ * =0.38

γt * =γ * cosβ=0.38 cosβ

模数

m由强度计算或结构设计确定，一般传递动力的齿轮m>=1

mt=m/cosβ

齿数

z

设计时选定

设计时选定

分度圆螺旋角

β

β=0°

β按推荐值或按中心距条件确定

主要几何参数的计算（mm）

中心距

a

a=m/2(z1+z2)

=1/2(d1+d2)

a=m/2cosβ(z1+z2)

=1/2(d1+d2)

一般希望a为标准数值或圆整的数值

分度圆直径

d

d=mz

d=mz/cosβ

名称

符号

直齿轮

螺旋齿轮

主要几何参数的计算（mm）

齿顶高

ha

ha= ha * m

齿顶圆直径

da

da=d+2ha=(z+2)m

da=d+2ha=(z/ cosβ+2)m

齿根高

hf

hf=( ha * +c * )m=1.25m

齿根圆直径

df

df=d-2ht

=(z-2.5)m

df=d-2ht

=(z/ cosβ-2.5)m

齿高

h

h= ha+ hf

基圆直径

db

db=dcosα

db=dcosαt

　　2.2.2外啮合高度变位齿轮传动的几何尺寸计算
　　外啮合高度变位齿轮传动的参数计算如表2。

　　表2 外啮合高度变位齿轮传动的参数

项目名称

符号

原 始 参 数

齿 数

小轮

z1

大轮

z2

模数

m

螺旋角

β

基准齿形

齿形角

α

齿顶高系数

ha *

径向间隙系数

c *

齿根圆半径系数

r *

变位系数

小轮

x1

大轮

x2

切 齿 方 法

小轮及大轮均用滚刀切制

齿宽

小轮

b1

大轮

b2

主要几何参数的计算（mm）

项目名称

符号

计算公式

中心距

a

a=(z1+z2)m/2cosβ

端面齿形角

αt

tgαt=tgα/cosβ

分度圆直径

d

d=mz/cosβ

齿顶高

ha

ha=m(ha * +x)

齿高

h

h=m(2ha * +c * )

齿根高

hf

hf=h-ha=m(ha * +c * -x)

齿顶圆直径

da

da=d+2ha

齿根圆直径

df

df=d-2 hf

基圆直径

db

db=dcosαt

基圆螺旋角

βb

sinβb=sinβcosα

法面分度圆齿厚

sn

sn=(0.5π+2xtgα)m

齿厚测量尺寸的计算(mm)

固定弦齿厚

s(_)c

s(_)c =(0.5πcos 2 α+xsin2α)m或

s(_)c =s(_)c * m(s(_)c * 可查表)

固定弦齿高

h(_)c

h(_)c =0.5(da-d-s(_)ctgα)或

h(_)c =0.5(da-d)-h(_)△ * m(h(_)△ * 可查表)

斜齿轮当量齿数

zn

zn=zn/cos 3 β

分度圆弦齿厚

s(_)

s(_)=zsin△/cosβ*m ,式中

△=(π/2z+2xtgα/z)*cos 3 β

分度圆弦齿高

h(_)a

h(_)a =0.5[da-(cos△-sin 2 β)

/cos 2 β*d]

　2.2.3内啮合标准齿轮传动的几何尺寸计算
　　内啮合标准齿轮传动的参数计算如表3。

　　表3 内啮合标准齿轮传动的参数

项目名称

符号

原 始 参 数

齿 数

小轮

z1

内齿轮

z2

模数

m

基准齿形

齿形角

α

齿顶高系数

ha *

径向间隙系数

c *

齿根圆半径系数

r *

插齿刀

齿数

z 02

齿顶圆直径

da 02

齿顶高系数

ha 02 *

切 齿 方 法

小轮及大轮均用滚刀切制

齿宽

小轮

b1

大轮

b2

工作齿宽

bw

主要几何参数的计算（mm）

项目名称

符号

计算公式

中心距

a

a=(z2-z1)m/2

分度圆直径

小轮

d 1 =mz 1

大轮

d 2 =mz 2

插齿刀变位系数

x 02

x 02 =da 02 /2m-(z02+2ha 02 * )/2

内齿轮与插齿刀啮合角

invαw 02

invαw 02 =2(x 2 -x 02 )tgα/(z 2 -z 02 )+invα

内齿轮与插齿刀中心距

aw 02

aw 02 =(z 2 -z 02 )mcosα/2cosaw 02

中心距分离系数

y02

y02= aw 02 /m-(z 2 -z 02 )/2

主要几何参数的计算（mm）

项目名称

符号

计算公式

齿高

h1

h1=0.5(da 1 -df 1 )

h2

h2=0.5(df 2- da 2 )

齿根高

hf

hf=h-ha=m(ha * +c * -x)

齿顶圆直径

da 1

da 1 =d 1 +2(ha * -δy 02 )m

da 2

da 2 =d 2 -2(ha * -k 2 )m

齿根圆直径

df 1

df 1 =d 1 -2(ha * +c * )m

df 2

df 2 = 2aw 02 + da 02

齿厚测量尺寸的计算(mm)

固定弦齿厚

s(_)c

s(_)c =0.5πmcos 2 α或

s(_)c =s(_)c * m(s(_)c * 可查表)

固定弦齿高

h(_)c

h(_)c =0.5(da-d-s(_)ctgα)或

h(_)c =0.5(da-d)-h(_)△ * m(h(_)△ * 可查表)

分度圆弦齿厚

s(_)

s(_)=zsin△/cosβ*m ,式中

△=(π/2z+2xtgα/z)*cos 3 β

分度圆弦齿高

h(_)a

h(_)a =0.5[da-(cos△-sin 2 β)

/cos 2 β*d]

　　2.2.4内啮合高度变位齿轮传动的几何尺寸计算
　　内啮合高度变位齿轮传动的参数计算如表4。

　　表4 内啮合高度变位齿轮传动的参数

项目名称

符号

原 始 参 数

齿 数

小轮

z1

大轮

z2

项目名称

符号

原 始 参 数

模数

m

螺旋角

β

基准齿形

齿形角

α

齿顶高系数

ha *

径向间隙系数

c *

齿根圆半径系数

r *

斜齿轮当量齿数

zn

zn=z/cos 3 β

变位系数

小轮

x1

大轮

x2

切 齿 方 法

小轮及大轮均用滚刀切制

插齿刀

齿数

z 02

分度圆直径

d 02

齿顶圆直径

da 02

齿顶高系数

ha 02 *

主要几何参数的计算（mm）

项目名称

符号

计算公式

中心距

a

a=(z1+z2)m/2cosβ

端面齿形角

αt

tgαtw=tgα/cosβ

分度圆直径

d

d=mz/cosβ

齿数比

u

u=z2/z1

齿顶高

ha

ha=m(ha * +x)

齿高

h

h=m(2ha * +c * )

齿根高

hf

hf=h-ha=m(ha * +c * -x)

齿顶圆直径

da

da=d+2ha

齿根圆直径

df

df=d-2 hf

主要几何参数的计算（mm）

项目名称

符号

计算公式

基圆直径

db

db=dcosαt

基圆螺旋角

βb

sinβb=sinβcosα

法面分度圆齿厚

sn

sn=(0.5π+2xtgα)m

齿厚测量尺寸的计算(mm)

固定弦齿厚

s(_)c

s(_)c =(0.5πcos 2 α+xsin2α)m或

s(_)c =s(_)c * m(s(_)c * 可查表)

固定弦齿高

h(_)c

h(_)c =0.5(da-d-s(_)ctgα)或

h(_)c =0.5(da-d)-h(_)△ * m(h(_)△ * 可查表)

斜齿轮当量齿数

zn

zn=zn/cos 3 β

分度圆弦齿厚

s(_)

s(_)=zsin△/cosβ*m ,式中

△=(π/2z+2xtgα/z)*cos 3 β

分度圆弦齿高

h(_)a

h(_)a =0.5[da-(cos△-sin 2 β)

/cos 2 β*d]

　　2.3本课题研究目标
　　计算出渐开线齿轮的模数、齿数、齿形、齿高、变位、基准齿形和参数（gb/t1356-1988）、模数系列（gb/t1357-1987）、传动类型和基本参数、变位系数的选择、渐开线圆柱齿轮的齿厚测量计算、精度选择和强度计算。

　　本课题研究的几何尺寸计算的适用范围包括：

　　1、标准圆柱齿轮（直，螺旋）

　　2、外啮合(高度变位)圆柱齿轮（直，螺旋）

　　3、内啮合标准齿轮（直齿）

　　4、内啮合(高度变位)圆柱齿轮(直，螺旋)

　　3. 软件的具体实现 3.1系统实现的环境
　　本设计软件使用c#语言开发，开发平台为vs2005软件，运行环境是windows xp

　　3.2软件的总流程图

图2 程序总流程图

　　3.3软件实现的主界面

图3 计算 外啮合齿轮副时的界面

图4 计算外啮合齿轮副时的界面

图5 精度计算时的运行界面

　　3.4 实现的部分代码 3.4.1实现的主要功能
　　1、 外啮合齿轮几何参数和齿厚计算的功能模块

private void button1_click(object sender, eventargs e) //外啮合计算

{

if (tboxα.text != "20") //判断输入是否为标准输入

str = "请输入标准齿形角α！\n";

else if (32(tboxβ.text) < 0 || 32(tboxβ.text) > 45)

str += "请选择合理的螺旋角β！\n";

else if (32() != 1)

str += "请选择合理的齿顶高系数！\n";

else if (le() != 0.25)

str += "径向间隙系数选择不正确，请重新填写！\n";

else if (le() != 0.38)

str += "齿根圆角半径系数选择不够准确！\n";

else if (le(32(le())) != le() || le(32(le())) != le())

str += "齿数请输入为整数！\n";

else //分别把输入的值赋给各变量

{

α1 = 32(tboxα.text);

β1 = le(tboxβ.text);

α2 = * α1 / 180;

β2 = * β1 / 180;

n = (β2);

u = 1;

m = le();

ha = 32();

hat = ha * n;

c = le();

ct = c * n;

r = le();

rt = r * n;

if (d) //标准齿轮几何参数计算

{

z0 = 32();

ha01 = ha * m;

hf0 = 1.25 * m;

h0 = ha01 + hf0;

if (tboxβ.text != "0")

{

a0 = z0 * m / n;

d0 = m * z0 / n;

}

else

{

a0 = z0 * m;

d0 = m * z0;

}

a = a0;

da0 = d0 + 2 * ha01;

df0 = d0 - 2 * hf0;

db0 = d0 + (α2);

pa = * m * (α2);

//标准齿轮齿厚计算

sc0 = 0.5 * * m * (α2) * (α2);

hc0 = ha01 - * m * (2 * α2) / 8;

invαt = (α2) - α2;

if (tboxβ.text != "0")

{

s0 = m * z0 * ( * n * n * n / (2 * z0)) / (n * n * n);

ha02 = 0.5 * da0 - (0.5 * m * z0 / (n * n * n)) * (( * n * n * n / (2 * z0)) - (β2) * (β2));

k0 = (α1 / 180) * z0 + 1;

w0 = ( * (k0 - 0.5) + z0 * invαt) * m * (α2);

}

else

{

s0 = m * z0 * ( / (2 * z0));

ha02 = 0.5 * da0 - 0.5 * m * z0 * ( / (2 * z0));

k0 = (α1 / 180) * z0 + 1;

w0 = ( * (k0 - 0.5) + z0 * invαt) * m * (α2);

}

}

　　计算外啮合和内啮合各种齿轮，原理基本一样，重点注意的是取值的精确度问题，以及弄清各参数之间的关系，以便于计算，避免数值的混淆。

　　2、确定部分重要精度参数的取值函数

public static int fpb_value(double x, double y, string z) //基节极限偏差fpb取值

{…}

public static int fβ_value(int x, string y) //齿向公差fβ取值

{…}

public static double fa_value(double x, string y) //中心距极限偏差fa取值

{…}

public static int fpt_value(double x, double y, string z) //齿距极限偏差fpb取值

{…}

public static int fr_value(double x, double y, string z) //齿圈径向跳动公差fr取值

{…}

public static double br_value(string x, double d) //切齿径向进刀公差br取值

{…}

public static char code_value(double x) //偏差代号

{…}

　　3.4.2软件实现和传统人工计算的比较
　　对齿轮进行设计时，传统的人工计算具有很大的局限性，下面就列举两个比较突出的例子进行比较说明。

　　1、在计算几何参数时，已知参数invα且invα=tanα-α,要番过来求α的值，此设计中我使用的二分法查找的思想来求解（代码如下），其中取值的精度精确到了10-8。如果如此庞大的计算量进行人工计算，工作量可想而知，而且有存在很大的误差甚至是错误的可能，但借用了此计算机辅助软件，立刻就可以得到满意的答案。

private double inv(double x)

{

double f = 0, r = / 2, b, fun; //设置变量f,r,b,fun

b = / 4; //因为0<α<(π/2),所以取第一个二分时b=π/4

fun = (b) - b; //求出当b=π/4时fun的值

while ((fun - x) > 0.00000001) //当误差小于10-8时跳出循环

{

if (fun - x > 0) //若fun大于x，取中间值的左边区间进行循环

{

r = b;

b = (f + r) / 2; //取新区间的中值

fun = (b) - b;

}

else if (fun - x < 0) //若fun小于x，取中间值的右边区

{ 间进行循环

f = b;

b = (f + r) / 2; //取新区间的中值

fun = (b) - b;

}

else //若fun与x的值相等，跳出循环

break;

}

return(b);

}

　　求解过程流程图如下图图6。

图6 用二分法求解过程流程图

　　2、求内啮合高度变位齿轮的齿厚尺寸的大轮固定弦齿高和分度圆弦齿高时，公式如下：

　　1）固定弦齿高：

　　hc2 = 0.5 * (d2 - da2 - sc2 * (α2)) + 0.5 * da2 * (1 - (δa2));

　　其中,有需要计算参数δa2：

　　δa2 = / (2 * z2) - invαt - 2 * (α2) * x2 / z2 + invαa2;

　　2）分度圆弦齿高：

　　ha2l = 0.5 * d2 * ((delta) - (β2) * (β2)) / (n * n) - 0.5 * da2 + 0.5 * da2 * (1 - (δa2));

　　其中，又需要计算参数delta：

　　delta = ( / (2 * z1) + 2 * x1 * (α2) / z1) * n * n * n;

　　如此繁杂、工作量大的计算量，进行人工计算同时也是件很苦难、很难实现的事情。

　　4.结论
　　正由于在产品的设计过程中齿轮几何参数的选择是影响产品具有良好的啮合和节能低耗效果的重要因素，如果齿轮在设计时参数的选择不够精确，只是采用人工凭经验的估算（而且有存在计算错误的风险），将直接影响所生产产品的质量，有损 企业 的 发展 。借助计算机辅助软件，就可以很大程度上减低了这方面的成本和风险。在加工齿轮时，技术人员经常要进行各种齿轮几何及啮合参数的计算。传统方法用手工、计算器及查表计算、速度慢、精度低,即使是价格较贵的可编程计算器也远不能满足高精度复杂计算的要求。而市场上用于齿轮计算的软件都较贵,且不适合部分中小企业的设计需要。为此，设计了此渐开线圆柱齿轮的几何参数计算的计算机辅助软件。

　　 参考 文献
　　 ①江耕华，胡来瑢，陈启松等.机械传动设计手册（上册）[m].北京：煤炭 工业 出版社,1982.

　　②齿轮精度国家标准宣贯工作组.齿轮精度国家标准应用指南[m].北京：兵器工业出版社，1990.

　　③北京业余机械学院工人班集体.齿轮原理与制造[m].北京： 科学 出版社，1971.

　　④马骏.c# 网络 应用编程基础[m].北京：人民邮电出版社，2008.

　　, , ⑤罗斌.visual c#.net精彩编程实例集锦[m].北京： 中国 水利水电出版社，2005.

　　⑥明日科技.c#开发经验技巧宝典[m].北京：人民邮电出版社，2008.

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