例说数理逻辑学的产生和发展

　　逻辑学是探索、阐述和确立有效推理原则的学科。用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科就叫做数理逻辑学，也叫做符号逻辑学。

　　数理逻辑学的产生

　　利用计算的方法来代替人们思维中的逻辑推理过程，这种想法早在17世纪就有人提出过。莱布尼茨就曾经设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程像用数学公式进行计算一样，一步步得出正确的结论。由于当时的科学发展水平有限，他的想法并没有实现。但是他的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。

　　1847年，英国数学家布尔发表了著作《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造了一套符号系统来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，并利用代数的方法研究逻辑问题，由此初步奠定了数理逻辑学的基础。

　　19世纪末20世纪初，数理逻辑学得到了更进一步的完善。1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引人了量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。对建立这门学科做出贡献的，还有美国哲学家皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号，从而使现代数理逻辑学最基本的理论基础逐步形成，并成为一门独立的学科。

　　数理逻辑学的内容

　　数理逻辑学两个最基本也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。

　　命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及进行逻辑推理的方法。如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，把逻辑连接词看作运算符号，就像代数中的“加、减、乘、除”那样，那么由简单命题组成复合命题的过程，就可以看作是逻辑运算的过程，也就是命题的演算。

　　这样的逻辑运算也同代数运算一样，具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否定律、狄摩根定律、三段论定律等。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复合命题，可以推证两个复合命题是不是等价，也就是它们的真值表是不是完全相同，等等。

　　命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”“与”“非”，运算对象只有两个数0和1，相当于命题演算中的“真”和“假”。

　　逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截止等现象，只有两种不同的状态。因此，它在电路分析中得到了广泛的应用。

　　利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑乘和逻辑非的门电路，也就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络。这样任何复杂的逻辑关系都可以由逻辑元件经过适当的组合来实现，从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此，逻辑代数在自动控制方面也被广泛应用。

　　谓词演算也叫做命题涵项演算。命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系；变项是指一定范围内的任何一个，这个范围叫做变项的变域。谓词演算就是把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题，然后研究这样的命題之间的逻辑推理关系。

　　命题涵项和命题演算不同，它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项，那么命题涵项就成为真的或假的命题了。

　　命题涵项加上全程量词或者存在量词，那么它就成为全称命题或者特称命题了。

　　数理逻辑学的发展

　　数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素是多方面的。比如，非欧几何的建立促进人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性，这就促进了数理逻辑学的发展。

　　集合论的产生是近代数学发展史上的重大事件，但是在对集合论的研究过程中，出现了被称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起的。什么是悖论呢？悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个数学分支，被公认为是数学的基础。1903年，英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”。这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础，从而促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题，由此产生了数理逻辑学的一个重要分支——公理集合论。

　　非欧几何的产生和集合论悖论的提出，说明数学本身还存在许多问题。为了研究数学系统的无矛盾性问题，需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象，研究数学系统的逻辑结构和证明的规律，这样又产生了数理逻辑学的另一个分支——证明论。

　　数理逻辑学新近还发展了许多新的分支，如递归论、模型论等。递归论主要研究可计算性的理论，它与计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。

　　数理逻辑学近年来发展特别迅速，并对数学的其它分支，如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展产生了重大的影响，特别是对计算机科学的发展起到了很大的推动作用。反过来，其它学科的发展也推动了数理逻辑学的发展。