关注体验，强化逻辑，注重认知——初中数学教学的重要思路

　　初中数学以小学数学为基础，初中生在数学学习中擅长形象思维，初中数学教学在原有知识基础上，通过数学情境的创设以促进有效的活动体验，并在此基础上借助逻辑推理生成数学认知，是重要的教学思路. 三角形内角和定理是初中数学基础性内容. 在体验之后让学生经过逻辑推理，可以发现任意三角形的内角和均为180°. 这是一个逻辑推理结果为真的陈述. “定理”是本课可以实施认知教学的数学概念.

　　人教版初中数学教材中，将三角形安排在七年级下册，这样的安排显然是从知识本身来考虑的. 一方面，学生在小学阶段已经学过了三角形的相关知识;另一方面，初中阶段又对此知识提出了新的要求. 如何在学生已有的知识基础和生活经验基础之上，将三角形这一“冷饭”炒出新味，是数学教师需要认真考虑的问题. 笔者分析了学生在小学阶段的学习情况(主要依据教材设计与对学生的口头调查)，感觉初中阶段的设计思路既要依靠学生原来的知识，同时又不能忽视基本的体验，更重要的是要促成数学认知的形成，这样才能使三角形的知识在学生的数学知识体系中成为一个坚实的结点，进而提升学生的数学学习品质. 本文试以“三角形的内角”这一知识点为例，谈谈笔者的教学思路.

　　关注已有认知基础

　　三角形的内角在小学数学中已有涉及，对其内角和为180°也已经有了测量、剪纸等方法证明，也就是说初中阶段这一知识点的教学结果，学生是已知的. 这就对实际教学提出了一个挑战，如何让学生在初中阶段这一知识的学习中有新的收获，将直接决定着学生在这一阶段的学习状态，也关系到学生对初中数学的认识.

　　实际上，这里涉及了两个层面：一是知识层面;二是学生的学习心理层面. 这也是以“认知基础”这一概念来界定的重要原因. 知识层面自不待言，结果都已经知道了，似乎就没有什么好学的了;心理层面除了关系到学生的学习状态之外，对教师的挑战在于应当设计什么样的学习过程，以将学生吸引到学习过程中来. 仔细研究学生已有的学习过程，会发现学生原有的学习过程有两个重点：一是在教师指导下的剪纸活动;二是教师要求下的结果记忆. 而这样导致的结果就是学生到了初中之后，一般只记得结果而忘记了过程. 于是教学思路也就相对明晰了：初中阶段对三角形的内角的教学，应当重在学习过程的设计，应当重在学生体验的设计，应当努力让学生在自主性发挥的基础上，能够对三角形内角和产生更为深刻的数学认识.

　　宏观思路已定，那下面的重点就是教学环节的设计了.

　　设计新的体验情境

　　情境对于学生构建数学知识的意义是不言而喻的，尤其是对于初中学生而言，形象生动的情境，往往能够让学生的形象思维得到充分的运用，从而实现有效或高效学习. 那么，对于三角形的内角这一知识而言，可以设计什么样的情境呢?

　　《义务教育数学课程标准》(2011版)在描述课程设计思路的时候，有这样的一段描述：“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程.” 这段描述对于初中数学的隐喻意义是深刻的，初中数学只有重视学生的体验，才能让学生在构建从生活数学到抽象数学的过程中有所依靠，也就是说只有体验，才能让擅长于形象思维的初中学生思之有物，进而思之有果. 既然如此，三角形的内容就可以以学生的体验为突破口，去设计教学过程.

　　几经思考，笔者创设的体验情境是这样的：第一步，给出用长木条构成的三角形、四边形、五边形(接头处打孔穿螺丝)等学具，每组各一个，由学生自己去摆弄. 学生自然会发现稳定性不同，这样就可以通过稳定性将学生的注意力吸引到三角形上来. 这一步花费也就一两分钟的时间，却可以瞬间凝聚学生的注意力. 第二步，让学生将给出的四边形变形为长方形，并向学生提出问题：此时长方形的四个角之和为多少度?学生稍加盘算就知道是360°(因为四个角都是90°). 第三步，让学生观察三角形，并提出问题：三角形的内角和为多少度?这一步需要给出充分的时间让学生去观察思考. 教学实践表明，此时学生观察的对象就是三角形与长方形，他们会下意识地将两者进行比较. 而这种下意识的行为，正是本情境需要的关键——只有在这种状态下，学生的体验才是真实的、自然的，也才能为后面的学习奠定基础. 如果不出意外，此时会有数个数学基础较好的学生有新的点子出来，比如说有学生会用一支笔充当长方形的对角线，进而发现其变成了两个三角形. 由于长方形的四个角是360°，那两个三角形的内角就分别应当是180°了.

　　体验至此，本环节似乎也就结束了，而这样的设计似乎也看不出什么新的创意. 事实并非如此，因为笔者发现新的惊喜常常会悄然而生.

　　引向数学逻辑途径

　　就在大部分人以为问题已经解决了的时候，笔者抛出一个问题：三角形的内角一定是180°吗?会不会这个三角形与那个三角形的内角和不一样?

　　应当说这是一个非常规的“古怪”问题，而笔者感觉这个问题看起来似乎没有道理，但其实却给出了一个重要命题：要求三角形的内角和，那实际上有一个前提，即所有三角形的内角和应当是一样的，只有这样，这个问题才有意义;反之，如果三角形的内角和不具有固定结果的特征，那本问题就没有价值了.

　　事实上，在教学中，这个问题也确实让原本柳暗花明的课堂又进入了山重水复的状态. 学生会发现，刚才的体验已经不能解决这个问题. 也正是在这种情况下，有学生回忆起了之前用过的剪纸法，并且当众给出了剪纸法的操作. 在这个学生的示范之下，绝大多数学生都回忆起了当时的这段体验，并进而否定了笔者的问题：你看，任意给出一个三角形，用剪纸法可以得到三角之和都是180°.

　　应当说学生此前的体验加上此时的演示，已经让学生的学习经过了一个充分体验的过程，在这个过程中学生对三角形的内角尤其是内角和的认识已经积累了大量感性的认识，下面要做的就是理性思考. 而这一过渡应当由教师的问题来过渡，问题很简单：无论是剪纸法，还是用量角器去测量，或者用简单的逻辑推理，都无法得出三角形内角和的一般规律，只有通过严谨且符合逻辑的数学证明，才能为问题的解决找到最佳的答案. 于是，学生的思路就被引向了数学推理.

　　下面的教学思路是明确的，关键在于教师如何引导学生自主发现证明方法. 比如说，怎样才能让学生想到过三角形某个顶点作另一边的平行线呢?或者说怎样才能让学生想到延长某条边，然后过该顶点作另一对边的平行线呢?事实上，本证明中，这才是关键，一旦给出了这条辅助线，下面就只是平行线定理的相关应用了. 因此，笔者设计引导学生自主思考平行线的作出，为本环节教学的重点. 具体的引导是这样的：现在的基本思路是证明三角形的内角和是180°，但在我们面前并没有现成的180°的角. 但是我们心中又是有180°角的，请同学们构思一下180°的角是什么样子. 学生很快就能想到其实就是一条直线(也有学生想象成一条射线转过180°). 于是再给出下面的问题：怎样才能将三角形的三个内角与大脑中构思的180°角联系起来?事实上，在这个问题抛出之后，学生更多想到的是第二种思路，即确定任意一个顶点，然后延长某个边，再要想的办法就是将另两个内角“转移”到这个地方来. 显然，这就要将外角分成两个角，如果两个角的大小恰好等于另两个内角，那么问题就迎刃而解了.

　　问题分析到这里，绝大多数学生的思路就清晰了，刚刚学过的平行线的知识，立即就在此发挥了作用. 待平行线作出，利用同位角和内错角的关系，答案顺利得出. 且同时能够回答那个“古怪”的问题：任意三角形的内角和都应当是180°，因为任意三角形都可以通过此方法来证明.

　　实现数学认知形成

　　经过了体验与逻辑推理之后，学生的基本认识已经形成，下面要做的事情就是将体验认识上升为数学语言. 就本知识而言，“三角形三个内角的和等于180°”的语言可以顺利获得，因为这样的描述既是生活语言，也是数学语言. 笔者确定的重点在“三角形内角和定理”这一概念上，在初中数学教学中，学生对“定理”这一概念的认识并不深刻，尤其是在七年级阶段，学生还只认为其为一普通概念，因此，笔者认为此时是一个加强学生认识定理概念的机会.

　　所谓定理，即为经过逻辑证明且为真的陈述. 在刚才的学习过程中，学生通过体验加逻辑推理获得了三角形内角和的一般规律，结果显然为真，于是告诉学生数学上对于此类命题，都会以定理称之. 换句话说，以后遇到类似的经过逻辑推理且结果正确的，一般都可以冠之以定理之称. 通过这样的认知生成，让学生认识到数学有本身固有的语言. 而这种概念性的数学语言，是可以在学生的数学学习中起到催化作用的，数学认知结构的构建，正是建立在此类数学语言基础之上的.

　　作者：周兵 来源：数学教学通讯·初中版 2016年3期