4～6岁儿童加减法反演律概念的理论综述

  1　引言
    加减法反演律(inversion principle)是对加法和减法互为逆运算关系的描述，是算术的基本法则和基本属性之一。加减法反演律指的是，某一原始数量加上再减去，或减去再加上某一相同数量，原始数量不变。心理学对加减法反演律的关注最早可以追溯到皮亚杰(1952)的研究中，他认为儿童只有理解了加减法的逆反关系，才真正掌握了加法和减法概念。因此，有关年幼儿童加减法反演律的心理学研究是在儿童加法概念和减法概念的研究背景下产生的，研究者通过考察儿童对加减法反演律的掌握情况来确定儿童是否真正掌握了加法或者减法概念。当儿童将加法和减法看作两个相互关联而非相互独立的概念，即儿童理解了加减法反演律时，儿童才真正理解了加法和减法概念，否则儿童的加法概念和减法概念将缺乏稳固性(Villete，2002)，加减法反演律是儿童理解加减法概念实质的有效标志。
    目前学前儿童加减法反演律的发生年龄与发展特点是该领域的研究热点。Sherman和Bisanz(2007)将儿童加减法反演律的发生年龄追溯到了3岁。研究发现，即使是数数不好的儿童在反演问题(a+b-b=a)上的表现也优于在控制问题(a+b-c=d)上的表现，且有83％的3岁被试在反演问题中的成绩优于在控制问题中的成绩。Sherman和 Bisanz认为3岁儿童已经表现出对数量反演的早期敏感性。但是也有研究者质疑学前儿童对加法和减法反演关系的理解能力。如Villete(2002)的研究发现，只有4岁到5岁组儿童在反演问题上取得成功。 Lai，Baroody和Johnson(2008)采用代数推理范式，以动画序列的形式，考察了60名4岁到5岁儿童的加减法反演律概念。结果发现，干预前三分之一的5岁儿童同时通过了反演任务与控制任务，干预后四分之三的5岁儿童同时通过了反演任务与控制任务；但是在干预前，4岁儿童中仅有一名儿童同时通过了反演任务与控制任务。由于不同研究间研究范式、任务类型、实验材料、反应指标等方面的差异，该领域的研究只得出4岁到6岁是儿童加减法反演律迅速发展阶段的结论(Bisanz，Watehorn，& Piatt，2009)，但这一年龄范围还比较宽泛，而且已有研究使用的材料仅限于小数量范围(1～4)，对更大数量的研究有助于探讨儿童何时牢固而精确的掌握加减法反演律这一问题。
    自20世纪90年代至今，认知心理学以及数学教育领域对早期儿童加减法反演律发生机制的探讨先后经历了三种观点：首先，加减法反演律知识可能来自于儿童对日常思维的概括，这种对逆反关系的理解可能建立在日常生活中的非数量经验之上(Resnick，1992)，如儿童知道脏衣服要还原为原来干净的状态，需要洗。这种观点认为，最初儿童仅仅理解了在某个集合中加入再拿出相同的“物体”，那么初始集合的“性质”不变，即儿童的思维过程中不需要数量信息的参与。随着儿童有关数量技能的增长，儿童渐渐地将这种日常生活中的思维方式泛化到加法和减法中，逐渐在数量水平上理解了加法和减法的逆反关系。根据这种观点，可以假设儿童应当首先发展出质性反演(qualitative inversion)，之后才0发展出数量反演(quantitative inversion)。但是 Sherman和Bisanz(2007)的研究发现，有关儿童加减法反演律来源于日常思维概括的假设并不成立。
    其次，加减法反演律知识可能来自于对数量经验的总结(induction from quantitative experience)，即儿童的加减法反演律知识可能与儿童的数数、算术技能等能力有关(Canobi & Bethune，2008)。这种观点认为，在儿童学习数数的过程中，儿童可能意识到向某集合中添加再取走相同的数量，则初始集合的数量与现有集合的数量相等。根据这种观点，可以假设年幼儿童的加减法反演律知识应当与其数数技能有关，年长儿童的加减法反演律知识应当与其计算能力有关。但是在Sherman和Bisanz(2007)的研究中却发现，即便是数数技能不好的3岁儿童在反演问题中的表现都优于在控制问题中的表现。但这一研究的实验材料局限于小数量范围，在这种情况下有可能不需要儿童运用数数能力。Gilmore等人(Gilmore，2005；Gilmore，2006；Gilmore & Bryant，2006; Gilmore & Spelke，2008；Gilmore & Papadatou-Pastou，2009)的研究结果发现，儿童的反演能力似乎总是好于其计算能力，儿童对反演律的理解可能是独立于其计算能力发展的。但是计算能力似乎是比加减法反演律知识更加高级的数认知能力，加减法反演律知识有可能是与比较基础的数认知能力如基数概念理解、数量比较能力有关，还需要进一步对影响加减法反演律的基本数认知能力进行探讨。
    还有研究者(Sherman & Bisanz，2007)认为，年幼儿童的加减法反演律知识可能来自于儿童的非数量注意过程(nonnumberical attentional process)，以儿童对客体各种属性的表征为基础，即以客体档案机制为基础。Villete(2002)的研究也发现，学前儿童在反演问题上的表现可能是建立在客体表征基础上的，而不是建立在数量表征基础上的。Bisanz， Watchorn和Piatt(2009)假设向儿童呈现一个初始集合，然后向集合中添加两个物体，之后再从集合中取走两个物体，如果儿童能够对初始集合中的客体进行内部心理表征并进行记忆，并能够经过一对一的匹配过程与最后结果集合的内部心理表征进行对比，那么儿童就具备了解决反演问题的足够信息，且这一过程与添加、拿取集合的数量信息无关。但这一理论只是建立在添加和移除的集合都是小数量的基础之上的，因为只有小数量范围的集合才能满足精确表征的条件。而集合数量表征存在小数精确表征和大数近似表征两种形式(Feigenson，Dehaene，& Spelke，2004；Mix，Huttenlocher，& Levine，2002；王乃弋，罗跃嘉，李红，2006；刘峰，陈旭，2009)，这一理论无法解释涉及大数近似表征时儿童的加减法反演过程。
    反演律影响因素的探讨，一直以来都对应于加减法反演律发生机制的争论，因此，目前加减法反演律影响因素的研究主要集中于：加减法反演律与基本数学能力如数数、计算能力的关系，加减法反演律与工作记忆的关系等方面。其中，加减法反演律与基本数学能力间关系的研究是目前研究的热点和重点，因为这方面的探讨可以在一定程度上回应反演律发生机制的理论争议，如果儿童早期的加减法反演律概念与基本的数学技能之间存在相关，那么，研究结果更加倾向于支持加减法反演律 的发生是从数量经验中获得的；而加减法反演律与工作记忆关系的研究相对较为薄弱。
    根据反演律的使用过程可以推断：如果儿童能够对添加和拿取的集合进行对比，并判断集合的数量关系，儿童就有可能识别两个集合在数量上是相等的；或者儿童能够记忆初始集合的相关信息，并将其与结果集合进行对比，那么儿童就可能发现添加和拿取相同数量的集合之后，初始集合的数量不变。不难发现，在上述两个过程中涵盖了儿童的数量比较能力，此外，儿童要在两次运算操作之后对数量的变化方向进行判断，该过程需要儿童对其中的数量信息以及运算操作形成内部心理表征，并在两次运算操作之后刷新工作记忆中存储的有关数量变化的新信息，最终判断数量的整体变化方向，即儿童反演问题的解决可能受制于其记忆刷新能力的影响。同时，由于儿童对集合的比较是建立在基本数量的理解之上的，所以儿童对基数概念的理解应该是进一步进行对比和判断的基础。
    通过对以往研究不足的分析，本研究通过以下几个方面改进儿童加减法反演律概念的研究：首先，在发展特点方面，本研究采用算术推理范式，以动画序列的方式向被试呈现问题，在尽量避免儿童计算的前提下，考察4到6岁学前儿童在集合数量和符号化数量两种任务类型下的具体表现。同时由于集合数量表征存在小数精确表征和大数近似表征两种形式，所以在实验中将实验材料的数量范围区分为小数和大数，以更加全面地描绘学前儿童加减法反演律概念的掌握特点和发展特点，探讨儿童运用加减法反演律概念解决问题时常犯的系统错误；第二，在影响因素方面，研究试图考察基本数量能力，如基数概念、数量比较能力，和认知加工能力，如记忆刷新对儿童加减法反演律概念的预测作用，对比并探讨认知能力与基本数量能力在儿童反演律概念发展中的作用。
    2　方法
    2.1　被试
    选取河北省某幼儿园小、中、大班幼儿进行个别施测，剔除无效被试后共有83名幼儿完成测试，其中4岁组26人(男12人，女14人)、5岁组29人(男16人，女13人)、6岁组28人(男15人，女13人)。三组儿童的平均月龄分别为47.2、57.1和67.4个月。
    2.2　任务材料
    2.2.1　算术推理范式
    参照 Lai，Baroody 和 Johnson(2008)的实验任务进行改进，考察学前儿童的反演律概念。算术推理任务包括集合数量反演任务和符号化数量反演任务两种任务形式。两个任务都采用动画的方式呈现a+b-c的运算序列，要求被试对运算序列的数量变化方向进行预测，包括“变多了”，“变少了”，“一样多”三种答案。被试正确反应的几率为三分之一。集合数量反演任务的具体呈现形式与流程如下图1所示，符号化数量反演任务的具体呈现形式与流程如下图2所示。两种反演任务的实验材料相同，各包含12个项目：其中6个项目为反演问题(a+b-b=a，原始数量不变)，6个项目为控制问题(a+b-c=d，原始数量增多或减少)，研究以反演问题考察幼儿的加减法反演律概念；6个项目的加数与减数为小数(小于等于4)，6个项目的加数与减数为大数(大于4)；且控制了a+b-c的运算顺序，其中6个项目为先加后减，6个项目为先减后加。
    
    图1　集合数量反演任务的具体实验流程(以4+1-1为例)
    
    图2　符号化数量反演任务的具体实验流程(以3+1-1为例)
    集合数量反演任务的指导语为：“小朋友，咱们玩一个豆子的游戏，准备好。看屏幕中间有一堆豆子，然后老师用一块蓝色板子把豆子盖住，小朋友猜猜看现在豆子和开始一样多吗?”被试如果可以正确回答，则进行下面的指导语，如果不能正确回答，多次重复上述指导语，帮助被试标定“开始”的位置，为后面的实验做准备。“好，很棒!接下来，妈妈往蓝色板子下面放了这么多豆子，看清楚这么多；然后，爸爸从蓝色板子下面偷吃了这么多豆子，看清楚这么多。好，现在小朋友告诉老师，蓝色板子下面的豆子比开始多，比开始少，还是和开始一样?”
    符号化反演任务的指导语为：“小朋友，咱们玩一个金币的游戏，看屏幕中间有一个金色的袋子，上面有数字，表示袋子里面有几枚金币，然后老师用一块蓝色的板子把袋子盖住，小朋友猜猜看现在金币和开始一样吗?”被试回答正确则继续进行，如不能正确回答，则多次重复至正确为止。“好，很棒!接下来，妈妈往蓝色板子下面放了这么多的金币，看清楚这么多；然后，爸爸从蓝色板子下面拿走了这么多金币，看清楚这么多。好，现在小朋友告诉老师，蓝色板子下面的金币比开始多，比开始少，还是和开始一样?”待被试充分理解指导语之后，进入练习阶段，主试不再重复指导语，练习后进入正式施测。
    2.2.2　给数取物任务
    该任务的目的在于测查被试对基数概念的理解(Wynn，1992)。在给数取物任务中，向被试呈现一个装有30个豆子的盒子，主试向被试随机说出1到6的数字，要求幼儿根据数字拿出与数字所表示的数量相等的豆子。每个数字测试三次，如果被试在某数字n上三次测试中的两次反应均正确，则进入 n+1的测试；相反，则后退测试被试对n-1的理解。记录被试的反应。
    2.2.3　数量比较任务
    数量比较任务包含三种配对类型：集合与集合配对、数字与数字配对、集合与数字配对任务。目的在于考察被试的数量大小比较能力。其中集合-集合任务向被试呈现数量相等或不等的集合对，集合元素为橙色小方块，要求被试对集合的数量进行比较；数字-数字任务向被试呈现数量大小相同或不同的橙色数字，要求被试进行比较；集合-数字任务向被试呈现橙色数字与橙色方块集合，要求被试对数字表示的数量与集合元素的数量进行比较。若数量相等，则报告“一样多”，若不等，则用手指指出数量较多的一边。数量比较任务的每种配对材料包含12个项目，其中6个为小数任务(数量范围为1到4)，6个为大数任务(大于4小于等于10)，6个项目的数量相等，6个项目的数量不等，控制配对材料中数量较多一方在呈现时的位置。
    2.2.4　记忆刷新任务
    该任务的目的在于考察被试记忆刷新的能力。记忆刷新任务参照Baddley(2002)的记忆刷新范式进行改编，向被试呈现由十字、同心圆、五角星三种材料组成的变换序列，要求被试报告序列现在的材料(末项回忆)，以及序列开始的材料分别是什么(初项回忆)，被试正确反应的几率为三分之一。根据工作记忆的容量为7加减2，序列中材料 的变化次数分别设定为3次、5次和7次，每种分别包含两个项目，共六个项目。记录被试的反应。在说明记忆刷新任务的指导语之前，首先请小朋友熟悉任务中要用到的实验材料，包括五角星、同心圆和十字，发现学前儿童将五角星命名为“星星”，将同心圆命名为“圆”，将十字命名为“医院”。待被试熟悉实验材料之后，说明指导语：“小朋友，看到屏幕中的方框儿了吗?一会儿老师要给你变个魔术，老师可能会往这里面放星星、圆和医院，小朋友请记住老师最先放在里面的是哪一个，老师最后放在里面的是哪一个?”待被试熟悉整个实验流程和任务要求后，进入正式测验。如果被试不能明白指导语，主试采用实物向被试呈现整个实验流程，直到被试理解任务要求为止。正式测验时，每变化一次图形，主试询问被试“记住了吗?”待被试给出回应之后，呈现下一次图形变化，直到整个序列结束，主试先后询问“最后出现的是哪一个?”“开始时出现的是哪一个?”
    2.3　任务程序
    对儿童进行个别施测。将儿童带到幼儿园里一个安静的实验房间，被试平坐在距离显示器50厘米的位置。所有被试依次完成集合数量反演和符号化数量反演任务，然后完成给数取物任务，继而完成数量比较或记忆刷新任务。被试完成数量比较任务与记忆刷新任务的顺序随机。
    3　结果
    3.1　4～6岁儿童加减法反演律概念的发展特点与差异分析
    在a+b-b=a的反演问题中，以年龄(4、5、6岁)为被试间变量，以任务类型(集合数量任务、符号化数量任务)、数量范围(大数、小数)为被试内变量进行3×2×2的重复测量方差分析，考察4岁到6岁学前儿童在反演问题中的年龄特点和发展特点。如表1所示，结果发现：年龄的主效应显著，=8.58，p＜0.001。进一步检验发现，6岁组幼儿在反演任务中的成绩显著优于4岁组(p＜0.001)和5岁组(p＜0.005)；4岁组与5岁组在反演任务中的成绩无显著差异，p＞0.05。对儿童在反演任务中的完成情况与几率水平进行差异检验，结果发现，4岁与5岁组幼儿在加减法反演任务中的表现与几率水平没有显著差异，6岁组幼儿在小数集合数量反演任务、小数符号化数量反演任务、大数符号化数量反演任务中的成绩都显著高于几率水平。
    数量大小的主效应显著，=68.11，p＜0.001；任务类型的主效应显著，=14.33，p＜0.001；数量大小与任务类型的交互作用显著，=7.05，p＜0.05。进一步的简单效应检验发现：在集合数量反演任务与符号化数量反演任务中，被试小数反演任务上的表现都显著优于大数反演任务上的表现，p＜0.001，数量大小效应受任务类型的影响，同符号化数量反演任务相比，在集合数量反演任务中，数量大小效应更大。
    
    年龄与数量大小的交互作用不显著，=0.84，p=0.45；年龄与任务类型的交互作用不显著， =1.40，p=0.252；年龄、数量大小与任务类型的三重交互作用不显著，=0.39，p=0.68。
    对通过率进一步分析：根据二项分布定理，当一次任务有三个选项，六次任务中依靠随机选择完成五次及以上时，p=0.017＜0.05，因此，当儿童在六项任务中有五项回答“一样多”时，可以排除儿童依靠猜测完成任务的可能，认为儿童分别在集合数量水平以及符号化数量水平掌握了反演律概念，儿童通过了集合数量反演任务及符号化数量反演任务。根据被试在反演任务中的反应，将六次反演问题完成五次及以上的认定为反演律概念掌握组，六次反演问题中完成四次及以下的儿童认定为反演律概念缺失组，不同年龄组幼儿在集合反演任务与符号化反演任务中表现如表2所示。幼儿园小班、中班儿童在集合数量与符号化数量反演任务中能够运用反演律进行算术推理的儿童非常少，随着年龄的增加，掌握加减法反演律的儿童逐渐增加，6岁左右的大班儿童在符号化数量反演任务中的表现已有明显增长。进一步卡方检验的结果显示：4岁、5岁、6岁三个年龄组幼儿在集合数量反演任务上的通过率呈边缘显著(2，N=83)=4.85，p=0.09；4岁、5岁、6岁三个年龄组幼儿在符号化数量反演任务中的通过率差异显著(2，N=83)=15.26，p=0.001。
    进一步比较四到六岁儿童反演问题与控制问题上的差异，以年龄组(4岁组、5岁组、6岁组)为被试问变量，以任务类型(集合数量反演任务、符号化数量反演任务)、问题类型(反演问题、控制问题)为被试内变量进行3×2×2的重复测量方差分析。结果显示：年龄的主效应显著，=25.03，p=0.001；进一步检验发现，6岁组在反演问题与控制问题上的总成绩显著优于4岁组(p＜0.001)和5岁组(p＜0.005)；4岁组与5岁组在反演问题与控制问题中的成绩无显著差异，p＞0.05。
    任务类型的主效应显著，=5.34，p=0.02＜0.05；问题类型的主效应显著，=25.88，p=0.001；任务类型与问题类型的交互作用显著，=10.80，p=0.01；进一步的简单效应检验发现：在集合数量反演任务中，幼儿在控制问题中的表现显著优于在反演问题中的表现，p＜0.001；在符号化数量反演任务中，幼儿在控制问题中的表现也显著优于反演问题，p＜0.05。问题类型效应受任务类型的影响，同符号化数量反演任务相比，在集合数量形式下，问题类型效应更大。年龄与任务类型的交互效应不显著，=0.12，p=0.88；年龄与问题类型的交互效应不显著，=0.09，p=0.91；年龄、问题类型与任务类型的三重交互作用不显著， =2.16，p=0.12。
    3.2　基数概念与加减法反演律概念的关系
    根据以往研究，“4”水平是儿童基数概念掌握的分水岭(Carey，2001，2004；Carey & Sarnecka，2006)，因此研究将给数取物任务中能够完成数量1～4的儿童界定为基数概念未掌握组，完成4～6的儿童界定为基数概念掌握组。结果显示：4岁组约一半的儿童掌握了基数概念，5岁组除一名儿童之外都掌握了基数概念，6岁组所有儿童掌握了基数概念。
    以被试年龄为协变量，以基数概念水平(掌握、未掌握)为被试间变量，以任务类型(集合数量反演任务、符号化数量反演任务)为被试内变量，进行2×2的协方差分析。结果显示：基数概念水平的主效应显著，=4.63，p＜0.05，进一步检验发现，在集合数量任务和符号化数量任务中，未掌握基数概念儿童的得分都显著低于掌握基数概念的儿童(p＜0.001)。
    3.3　数量比较与加减法反演律概念的关系
    被试在数量比较任务各子任务( 集合-集合比较任务、数字-数字比较任务和集合-数字比较任务)的得分与集合数量反演任务的相关分别为0.51、0.34和0.45；与符号化数量反演任务的相关分别为0.40、0.42和0.42，均在0.01水平呈显著正相关。
    研究进一步以数量比较任务的各子任务为预测变量，分别以集合数量反演任务、符号化数量反演任务为因变量进行逐步回归分析，考察数量比较能力对反演能力的预测作用，如表3所示，集合-集合比较任务、集合-数字比较任务的得分能够显著预测其在集合数量反演任务中的成绩，且集合-集合比较任务上的成绩首先进入回归方程。结果还显示，数字-数字比较任务、集合-集合比较任务的得分能够显著预测其在符号化数量反演任务中的成绩，数字-数字比较任务的成绩首先进入回归方程。
    
    3.4　记忆刷新与加减法反演律概念的关系
    相关分析结果发现，被试在记忆刷新各子任务(末项回忆、初项回忆)上的得分与集合数量反演任务的相关分别为0.61和0.35，与符号化数量反演任务的相关分别为0.61和0.49，均在0.01水平上呈显著正相关。
    研究进一步以记忆刷新的两个子任务为预测变量，分别以集合数量反演任务、符号化数量反演任务为因变量进行逐步回归分析，探讨记忆刷新对反演能力的预测作用，结果如表4所示。幼儿在末项回忆任务中的成绩能够显著预测其在集合数量反演任务中的成绩。幼儿在末项回忆、初项回忆中的成绩能够显著预测其在符号化数量反演任务中的成绩，且末项回忆首先进入回归方程。
    3.5基数概念、数量比较能力、记忆刷新与加减法反演律概念的关系
    在上述分析基础上，研究进一步对儿童的基数概念水平进行虚拟编码，选取基数概念、集合-集合比较任务、数字-数字比较任务、集合-数字比较任务、末项回忆任务、初项回忆任务为预测变量，分别以集合数量反演任务、符号化数量反演任务为因变量进行逐步回归分析，探讨幼儿基数概念、数量比较能力、记忆刷新能力与其加减法反演律概念的关系。
    表5的结果显示，以集合数量反演为因变量时，末项回忆任务、集合-集合比较任务先后进入回归方程，能够显著预测幼儿在集合数量反演任务中的成绩。以符号化数量反演为因变量时，末项回忆任务、初项回忆任务、集合-数字比较任务先后进入回归方程，能够显著预测幼儿在符号化数量反演任务中的成绩。
    
    4　讨论
    4.1　4～6岁儿童加减法反演律概念的年龄发展趋势
    儿童加减法反演律的发生和发展特点一直以来都是该领域研究和争论的焦点之一。本研究在区分集合数量反演任务、符号化数量反演任务的基础上，控制任务的不同类型、不同数量范围、不同问题形式，考察了4岁、5岁、6岁三个年龄段儿童的加减法反演律概念。
    首先，研究结果发现，4岁组和5岁组幼儿在集合数量反演任务以及符号化数量反演任务中的完成情况与几率水平无显著差异，只有少数的4岁和5岁儿童通过了两种反演任务。因此，4岁组和5岁组幼儿在理解和运用加减法反演律进行算术推理的过程中还存在很大的困难。与4岁组和5岁组幼儿不同，6岁组儿童的加减法反演律概念有了很大的发展，其在小数集合数量反演任务、符号化数量反演任务中的表现都显著高于几率水平，且超过20％的6岁儿童，超过50％的6岁儿童分别成功完成了集合数量反演任务以及符号化数量反演任务。6岁是幼儿加减法反演律概念发展的一个快速阶段。
    以往研究发现加减法反演律概念的发生年龄在4岁到6岁之间，而本研究中极少数的4岁和5岁儿童成功完成了反演任务，这可能是因为，以往有关幼儿加减法反演概念的研究中的数量多为1到4的小数(Vilette，2002；Sherman & Bisanz，2007；Lai， Baroody，& Johnson，2008)，尤其是打破预期范式的数量多在4以内，而本研究同时在小数(1到4)和大数(5到10)两个范围内考察了学前儿童对加减法反演律概念的理解，目的是考察集合数量表征中的小数精确表征和大数近似表征两种形式对儿童加减法反演律概念的影响，但纳入大数范围的同时也增加了幼儿反应的难度。
    第二，结果发现数量大小与任务类型的交互作用显著，在集合数量反演任务和符号化数量反演任务中，被试在小数任务上的表现都显著优于在大数任务上的表现，且数量大小效应在集合数量反演任务上更显著。这可能是是由于数量表征本身的特点造成的。以往研究发现，存在集合数量表征、符号化数量表征、语言数量表征三种形式的数量表征(Dehaene，1992)。其中集合数量表征存在大数近似表征和小数精确表征两种形式：在小数范围内，个体通过感数(Subitizing)即可快速而准确的识别1到4的数量；而在大数范围内，个体需要借助数数或估数两种策略识别大于4的数量，且随着数量的增加，个体识别数量的时间增长，识别数量的准确性降低(Logan & Zbrodoff，2003)。因此，集合数量表征的数量大小特性决定了学前儿童在集合数量反演任务中的数量大小效应，且在集合数量反演任务中数量大小效应更加明显。在符号化数量反演任务中，数量大小效应依然显著，这可能是由于儿童的数量经验造成的，与大于4的数量相比，儿童对小于4的数量可能会更加敏感。学前儿童在集合数量反演和符号化数量反演任务中数量大小效应的发现表明，尽管4岁到6岁学前儿童对加法和减法逆反关系的理解有了快速的发展，但是学前儿童的这种理解并不能脱离具体数量的影响，儿童并没有真正掌握加减法反演律。
    第三，对比4到6岁儿童在反演问题以及控制问题中的表现，发现儿童在控制问题上的成绩显著高于在反演问题上的成绩。这一结果与采用简便运算范式的研究结果相矛盾(Sherman & Bisanz，2007)。可能存在两方面的原因：首先，简便运算范式与算术推理范式的研究假设与任务要求不同，前者要求儿童给出反演问题和控制问题的精确结果，而在反演问题中儿童可以使用简便方法解决问题，降低计算的难度；后者不需要给出精确结果也不需要儿童计算的参与，且在集合数量形式下，随着集合对数量比例越接近于1，儿童识别数量的难度越来越大，因此反演问题的难度反而要比控制问题难。其次，结果分析发现，儿童在进行算术推理时经常犯的三类系统错误是一贯回答“增多”，一贯回答“减少”，以及根据a+b-c运算序列的第二次运算进行反应，由于这三类主要错误的影响，儿童在算术推理中给出不一样答案的机会要比给出“一样多”答案的机会 更大，因此在控制问题中可能会造成儿童回答正确的错误印象，因此儿童在控制问题中的“正确回答”可能是系统错误带来的，最终造成儿童在控制问题上的表现优于在反演问题中的表现。
    以上结果表明，4到6岁学前儿童，尤其是6岁学前儿童对加减法逆反关系的理解有了很大发展，但是总体而言，学前儿童的加减法反演律概念发展得并不牢固，儿童倾向于分离、片面的理解加法和减法概念，且学前儿童的加减法反演律概念容易受到具体数量的影响。
    4.2　4～6岁儿童的基数概念、数量比较能力、记忆刷新能力与加减法反演律的关系
    研究采用给数取物任务考察了学前儿童的基数概念理解水平。结果发现，基数概念掌握组儿童对加减法反演率的理解显著好于未掌握组。这一结果与Gilmore和Papadatou-Pastou(2009)的研究结论相一致。这表明基数概念的掌握水平，即儿童对数量的理解水平影响儿童加减法反演律概念的运用，4岁到6岁儿童的反演律概念并不是脱离数量存在的。同时研究也发现：很多掌握了基数概念的儿童并未能完成反演任务；且基数概念水平相同的儿童，其加减法反演律概念理解水平也是参差不齐的。这些结果说明，学前儿童的加减法反演律虽然受儿童基数概念理解的影响，但它并非决定儿童反演律的单一以及决定因素。也就是说儿童理解了基数概念并不一定理解加减法反演律，还需要其他知识或技能的参与，即还存在影响儿童加减法反演律的其他因素。
    对比集合数量、符号化数量两种任务回归分析的结果，儿童在这两种形式下对加减法逆反关系的理解均同时需要数量比较能力，以及记忆刷新两种能力的参与。较好的数量比较能力允许儿童快速对 a+b-c序列中增加与减少的数量进行比较，而记忆刷新是辅助儿童对顺次出现的两个数量以及两种运算同时进行比较的重要认知能力。如果儿童的数量比较能力以及记忆刷新能力发展的较好，那么在加减法反演问题中儿童就可能会获得成功。且在两种数量形式下，儿童记忆刷新的预测作用相对于基本数量能力较大一些，这表明记忆刷新能力对儿童加减法反演律概念的运用可能影响更大，其中末项回忆的作用比较大，这表明在儿童运用加减法反演律概念的过程中，儿童的记忆刷新能力可能相比从长时记忆中提取信息的能力更加重要。这一结果与在算术问题解决(Passolunghi & Pazzaglia，2004)及简单加法问题(Deschuyteneer，Vandierendonck，& Muyllaert，2006)中的发现相一致。
    此外，儿童在反演问题和控制问题中常常倾向于根据某种单一的运算进行反应，而忽视了a+b-c序列的另一种运算。如儿童常常一贯回答“变多了”，“变少了”，或者仅根据序列的第二次操作运算预测整个序列的数量变化方向。这些常见的错误类型都表明，儿童倾向于用分离、独立的视角看待加法和减法。这可能是由于儿童的记忆特点造成的：相比初项回忆任务，儿童在末项回忆任务中的优势更大，而a+b-c的第二次运算正处于加工状态，因此相比第一次运算，第二次运算给儿童带来的影响更大，如果儿童不能对先后进行的两次运算同时进行加工，那么儿童就会更加倾向于根据第二次运算来判断序列的数量变化方向。儿童在解决反演问题和控制问题的过程中需要克服某种单一运算的优势，对先后发生的两种运算同时进行加工。但是4到6岁的学前儿童在这方面还存在较大的困难。
    结合以往研究中关于加减法反演率概念发生机制的理论争论和本研究的结果，可以推断，尽管在已有研究中儿童加减法反演率概念独立于计算能力而发展，但是仍然可能与数概念的掌握、数量比较能力等基本数量能力有关，不能排除数量经验的影响。因为结合集合数量表征中的小数精确表征和大数近似表征的规律，当儿童的加减法反演过程涉及小数精确表征时，儿童可能以客体档案机制为基础，完成加减法反演的过程；但是当涉及大数近似表征时，儿童则需要借助已有的数量经验完成这一过程。而无论儿童采用的是以客体档案机制为基础的精确表征，还是与数量经验有关的大数近似表征，记忆刷新作为一种重要的认知能力都在儿童加减法反演率概念的形成和发展中起了非常重要的作用。
    5　结论
    本研究可得出如下结论：
    (1)5岁到6岁是儿童掌握和运用加减法反演律概念的快速发展时期；
    (2)基数概念掌握组儿童加减法反演律概念的发展显著优于未掌握组，但是基数概念的掌握情况对儿童的加减法反演律概念无显著预测作用；