高等数学教学中的数学哲学思考

　　摘要：本文探讨了数学和哲学之间的关系，数学对哲学的影响，以及当代数学哲学发展的困境，并指出了数学哲学发展的新途径。

　　关键词：数学；哲学；数学哲学

　　一、早期的数学家为什么都是哲学家？

　　在古希腊，哲学家都格外重视数学。最早的唯物主义哲学家泰勒斯，提出了原子唯物论的德谟克利特，最早的唯心主义哲学家毕达哥拉斯，都曾到埃及学习几何。毕达哥拉斯学派认为世界的本源是数：“万物皆数”，虽然这个看法现在看来可笑，但毕达哥拉斯学派是第一次抽象的处理数学概念的人，使得数学理论从大地测量、计算等活动中抽象出来，他们在研究中发现了毕达哥拉斯（九章算术称勾股定理）定理。比毕达哥拉斯学派更广为人知的是柏拉图学院，该院学生以亚里士多德最为出名。这些学生大多是那个时代最出名的数学家、哲学家和天文学家。后来这许多学派和个人的工作，被欧几里得总结在《几何原本》中，在《几何原本》中，欧几里得从几条公理出发，演绎了500多条希腊大师的定理、结论。

　　唯理论的两位大家——笛卡尔和莱布尼茨正是两位数学大家。勒奈·笛卡尔（1596～1650），伟大的哲学家、物理学家、数学家。人们在他的墓碑上刻下了这样一句话：“为人类争取并保证理性权利的第一人——笛卡尔。”1628年，他从巴黎移居荷兰，先后发表了许多在数学和哲学上有重大影响的论著：《论世界》（1634）、《行而上学的沉思》（1641）、《哲学原理》（1644）等。1637年，笛卡尔的《几何学》，创立了直角坐标系，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡尔的变数是数学中的转折点。变数使得运动走入数学，变数使得辨证法走数学，变数使得微分和积分也就立刻成为必要。笛卡尔的成就，为后来一大批数学家的新发现开辟了道路。

　　作为微积分的创始人之一的德国著名数学家、科学家、哲学家——莱布尼茨发明了微积分符号，一直沿用到今。著名的哲学家罗素、布劳威尔等也都研究数学，而著名的数学家希尔伯特也研究哲学，这样的例子无法一一列举。这些著名的学者都同时精通数学和哲学，一方面原因是因为早期的学科分类没有像今天这样分得如此详细；另一方面也说明，数学和哲学有着不可分割的内在联系。“没有数学我们无法看穿哲学的深度，没有哲学，人们也无法看穿数学的深度，而没有这两者，人们就什么也看不透。”德莫林思（ns）这句格言深刻地表明了数学与哲学的深厚关系。自从有哲学以来，数学就成为哲学问题的一个重要来源，为哲学的思考与发展提供了丰富的实践环境。

　　二、数学对哲学的影响

　　数学始终影响着哲学。

　　在数学的发展史上，有过三次“危机”。哲学家芝诺在公元前五世纪提出了几个著名的悖论，加之无理数出现造成的危机，是第一次数学危机；初期微积分逻辑上有缺陷，围绕微积分基础展开了的论战是第二次数学危机；哲学家罗素在集合论中发现的“罗素悖论”，动摇了把集合论作为整个数学的基础的思想，这就是所谓的第三次数学危机。

　　第一次危机的结果建立了严格的实数理论。数学家回答了“什么是连续性”。第二次危机的结果建立了微积分的严密基础极限理论。数学家回答了“运动是怎么回事”。第三次数学危机的结果产生了“数学基础”这个至今尚在蓬勃发展的数学领域。

　　三、哲学对数学的影响

　　数学也受哲学的影响，但是不如数学对哲学的影响明显。即使数学家本身是哲学家，他的数学活动并不一定打上哲学观点的烙印，他的哲学观点往往被后人否定，而数学成果却与世长存。如康托尔，他认为无穷集是客观存在的，表现出唯心主义倾向，不过这可能更加激发了他的研究热情。他对实无穷的研究，最终得到线段上的点要多于自然数，解决了两千多年哲学家们都没有解决的问题。一些卓越的哲学家如亚里士多德、康德、莱布尼茨都坚持没有实在的无穷，实际上认为人不可能认识实无穷，像自然数一样。而康托尔的集合论，使数学思维进人了无穷的王国。

　　所以，我们可以这样说：许多数学家是自觉的唯心主义与不自觉的唯物主义的结合。

　　四、当代数学哲学的思考

　　我们现在有一种思考是数学哲学需要向数学文化哲学的过渡。罗素的集合悖论造就了人们对数学的信任危机，但是仍然有大批的数学家，诸如怀特海、希尔伯特等人一直在寻求一种新的基础，来挽救这种信任危机。也正是由于这种危机促使了数学哲学推向了一个新的阶段。在不断的研究过程中，相继出现了逻辑主义、直觉主义、形式主义。但是，随着更多的数学家加入这场讨论大战，比如哥德尔证明的不完全定理，使得我们对形式主义和直觉主义产生了怀疑并逐步放弃了形式主义和直觉主义。产生的后果是数学界只研究纯粹的数学，哲学问题逐步淡出了数学家的视线，而且他们发现这种缺失的哲学并没有对数学研究产生不好的影响。后来的数学家发现数学比以前更快的速度飞速发展。这样的结果就是不光许多以前对数学哲学感兴趣的数学大师如冯·诺伊曼、外尔等以及一些新成长起来的数学家都很少涉足数学哲学。曾经有数学家就认为数学哲学家讨论的是“前天的数学”而不是“今天的数学”。

　　五、数学哲学的新启示

　　数学和哲学的关系究竟怎样处理？如何是数学和哲学更加和谐的相处呢？

　　传统数学哲学由于缺乏必要的学科定位，而且数学知识的框架也存在缺陷，使得数学和哲学的联系道路越走越远，使得我们无法面对数学文化和哲学文化具有的更深层次的不协调问题。

　　随后的数学家从数学文化哲学的角度进行研究，为我们提供了一个新的角度，他们注重研究数学活动本身的内在联系的外部机制的关系。美国数学家威尔德的两部著作《数学概念演化的初步研究》和《数学，一种文化体系》就是从这一角度研究数学文化的。他在书中所提到的观点受到大部分数学界人士的赞同，认为威尔德提及的数学需要作为一种文化体系进行研究的观点，是第一个比较成熟的数学哲学观。

　　作为普通民众，由于缺乏必要的数学素养，他们对数学存在质疑；这种情况的出现使得数学文化哲学进一步引起了数学家的关注。从纯粹的数学知识体系来看，数学有着脱离社会并远离哲学文化的危险，这样的结果就是会导致孤立主义的倾向。而且这种孤立主义使普通民众产生一种错误地感觉，那就是他们认为数学只是少数数学天才的事情，是他们自己脑子里想象出来的创造物，社会的发展和进步和数学的发展是没有关系的，而且数学的真理性无须社会的实践来检验。随着纯粹的数学知识体系内的各个领域的划分越来越细致，导致的结果就是不同数学分支的数学家们没有办法进行必要的交流，统揽数学全局的大家已经很久没有出现了。数学就象失去方向盘的汽车，不知将奔向何处。

　　从数学知识体系所处的外部环境，也就是数学与社会文化的关系来看，也出现了不协调的情况。从古典数学分析演变到近代数学分析，数学越来越严密化，使得数学出现了严密的推导过程，而且这样具有严格逻辑的推导备受数学界崇尚，直接后果就是他们不管数学的结果是否有用，对现实世界及其他学科是否有意义。英国数学家哈代在代表作《一个数学家的辩白》中就宣称：“我从未做过有用的事，在我的发现中，从未有过或可能有过，直接或间接地、好的或不好的，对现实世界稍微有益的东西。”

　　数学内部和外部共同作用的结果就是使得数学界出现了孤立主义倾向，大部分数学家其孤芳自赏，并且拒人于千里之外，普通民众更加的不理解数学，对数学望而生畏，更不用说理解数学了。

　　但是不可否认的是数学是社会发展，尤其是科学技术发展的基础和工具，孤立于人类文化使得我们失去了原动力。这种原动力是推动社会进步和人类思想解放的基本，失去它将使得社会的发展变为无源之水。以哲学的眼光来考察和监督数学的发展，把把数学放在数学文化哲学的大背景下，力图将人类文化融入数学，让我们意识到到数学是为社会服务的。数学文化哲学的研究或许是人类真正理解数学的一把钥匙。从数学哲学走向数学文化哲学，让我们认识数学的本来面目，推动数学哲学进一步向前发展。

　　参考文献：

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　　（作者单位：苏华/山东大学经济学院、山东财经大学数学与数量经济学院；脱秋菊、刘健/山东财经大学数学与数量经济学院）

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